Κλάσματα

mick7 · #1

Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους a,b,c,d

που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=\frac{266}{115}$

Διορία 72 ώρες

Joaakim · #2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 11:54 am
Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=\frac{266}{115}$

Διορία 72 ώρες

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη επί 115

παίρνουμε
$115a+\frac{115}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=266$ .

Τότε πρέπει $\frac{115}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}|115=5*23$ και $266-115>0 \Rightarrow 115a<266<345 \Rightarrow a<3 \Rightarrow 2 \ge a \ge 1$ .

Αν a=2

, τότε $\frac{115}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=36$ . Τότε όμως πρέπει 36|115

, άτοπο.

Αν a=1

, τότε $\frac{115}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=151>115$ , άτοπο.

Χάνω κάτι? Μήπως ο αριθμός που δόθηκε δεν είναι ο σωστός. Μήπως είναι π.χ. ο 253

??

judgme_nt · #3

Ας γίνει η εξής παρατήρηση:
Αν

θετικός ακέραιος και y>0

τότε $x\geq1$ και $\frac{1}{y}>0$ οπότε $x+\frac{1}{y}>1 \iff 0<\frac{1}{x+\frac{1}{y}}<1$ οπότε ο $\frac{1}{x+\frac{1}{y}}$ σίγουρα δεν είναι ακέραιος.

Η εξίσωση που δίνεται γράφεται: $a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d} }} = 2 + \frac{36}{115}$ . Προφανώς το ακέραιο μέρος κάθε ισότητας πρέπει να είναι ίδιο. Έχουμε: $\left \lfloor{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d} }}}\right \rfloor = a$ (από την παρατήρηση αφού είναι $0<\frac{1}{c+\frac{1}{d}}<1 \implies b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}>1 \iff 0<\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}<1$ )
και $\left \lfloor{2 + \frac{36}{115}}\right \rfloor=2$ .

Οπότε προκύπτει ότι a=2

. Τώρα η εξίσωση γράφεται:
$\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d} }} = \frac{36}{115} \iff b+\frac{1}{c+\frac{1}{d} } = \frac{115}{36}$ .
Με όμοιο τρόπο συνεχίζουμε και είναι b=3

. Τώρα έχουμε $c+\frac{1}{d}=\frac{36}{7} \hspace{0.3cm}[= 5 + \frac{1}{7}]$ . Το δεξί μέλος δεν είναι ακέραιος οπότε το $\frac{1}{d}$ δεν είναι ακέραιος (είναι δηλαδή d>1

). Οπότε τελικά βρίσκουμε (a,b,c,d)=(2,3,5,7)

.

judgme_nt · #4

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 11:54 am
Αν , τότε $\frac{115}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}=36$ . Τότε όμως πρέπει , άτοπο.

Νομίζω δεν μπορούμε να το πούμε αυτό γιατί δεν γνωρίζουμε αν το γινόμενο αριστερά αποτελείται μόνο από ακέραιους. Π.χ αν έχουμε 7a=50

με $a\in\mathbb{R}$ δεν μπορούμε να πούμε ότι η ισότητα δεν στέκει αφού για $a=\frac{50}{7}$ ισχύει. Όμως αν ήταν 7a=50

με $a\in\mathbb{Z}$ τότε θα ήταν άτοπο.

mick7 · #5

Προσωπικά έκανα απλές πράξεις προσπαθώντας να το φέρω στην μορφή που δίνεται...

$\displaystyle \frac{266}{115}=\frac{2\cdot115+36}{115}=2+\frac{36}{115}=2+\frac{1}{\frac{115}{36}}=2+\frac{1}{\frac{3\cdot36+7}{36}}=2+\frac{1}{3+\frac{7}{36}}=2+\frac{1}{3+\frac{1}{\frac{36}{7}}}=...$

YΓ...Οι αριθμοί είναι αυτοί που δίνει ο judgme_nt.

Κλάσματα

Κλάσματα

Re: Κλάσματα

Re: Κλάσματα

Re: Κλάσματα

Re: Κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση