Ορθή σε ισόπλευρο

#1

: Ορθή σε ισόπλευρο.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

είναι σημεία των πλευρών BC, AB

αντίστοιχα ισοπλεύρου τριγώνου ABC,

ώστε

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι $BP\bot PC.$

48 ώρες μόνο για μαθητές.

Manolis Petrakis · #2

Έστω

το σημείο τομής της

με την

.
Από θ. Ceva έχουμε $\dfrac{AZ}{ZC}=\dfrac{AE}{EB}\cdot \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{4}\ (1)$
Τώρα με θ. Μενελάου στο ADC

με διατέμνουσα BPZ

είναι $\dfrac{AZ}{ZC}\cdot \dfrac{CB}{BD}\cdot\dfrac{DP}{PA}=1 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} \dfrac{AP}{DP}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{AP}{AD}=\dfrac{3}{7} \Leftrightarrow AP=\dfrac{3AD}{7}\ (2)$
Με ν.σ. στο ABD

βρίσκουμε ότι $AD^2=AB^2+BD^2-2AD\cdot BD\cdot \cos 60^{\circ}=a^2+\dfrac{a^2}{9}-a\cdot \dfrac{a}{3}=\dfrac{7a^2}{9}\ (3)$
Άρα από τις (2),(3)

είναι $AP\cdot AD =\dfrac{3AD^2}{7}=\dfrac{a^2}{3}=AB\cdot AE$ άρα το BEPD

είναι εγγράψιμο.
Όμως BE=2BD

και $\angle B =60^{\circ}$ άρα το BED

είναι ορθογώνιο. Επομένως $\angle EPB=\angle EDB=90^{\circ}.$

: Στιγμιότυπο οθόνης (177).png (24.71 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

#3

Τα τρίγωνα, $ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CEA$ είναι ίσα γιατί έχουν : $AB = CA = 3k\,\,,\,\,DB = EA = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ABD} = \widehat {CAE} = 60^\circ$ , άρα θα έχουν $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ .

Στο $\vartriangle APC$ η εξωτερική γωνία $\widehat {{a_1}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _2}} = 60^\circ = \widehat {CBA}$ , συνεπώς το τετράπλευρο BDPE

είναι εγγράψιμο.

: Ορθή σε ισόπλευρο.png (30.53 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Όμως αν

το μέσο του

θα είναι : BM = BD = k

άρα το τρίγωνο MBD

είναι ισόπλευρο και έτσι:

$DM = MB = ME \Rightarrow \vartriangle DBE \to \left( {90^\circ ,60^\circ ,30^\circ } \right)$ με άμεση συνέπεια στο τετράπλευρο

BDPE

η γωνία $\boxed{\widehat {{\phi _{}}} = 30^\circ } \Rightarrow \boxed{\widehat {BPC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ }$ .

Παρατηρήσεις

α)Αν φέρω από το παράλληλη στην και κόψει την στο σημείο , τότε

το $\vartriangle EAK$ θα είναι ισόπλευρο με διάμεσο την και άρα : $ED \bot BC$

αυτό σαν ερώτημα ήταν (πάλαι ποτέ) θέμα εισαγωγικών εξετάσεων από το Γυμνάσιο στο Λύκειο.

β) Για την πιο πάνω άσκηση του Γιώργου, έχω ακόμα μια λύση με ύλη Β’ Λυκείου και θα την γράψω αν δεν την γράψει κάποιος άλλος .

Ορθή σε ισόπλευρο

Ορθή σε ισόπλευρο

Re: Ορθή σε ισόπλευρο

Re: Ορθή σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση