Φαινομενικά παράδοξο

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $x^{2}+x+1=0$ .
Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$
Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γράφεται ως:
$x^{2}\cdot (-x)=1-2x^{3}\Rightarrow -x^{3}=1-2x^{3}\Rightarrow 2x^{3}-x^{3}=1\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$ .

Όμως ο αριθμός x=1

δεν επαληθεύει την σχέση (1).
Να ερμηνεύσετε αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα.

DrStrange · #2

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:02 am
Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $x^{2}+x+1=0$ .
Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$
Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γράφεται ως:
$x^{2}\cdot (-x)=1-2x^{3}\Rightarrow -x^{3}=1-2x^{3}\Rightarrow 2x^{3}-x^{3}=1\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$ .

Όμως ο αριθμός δεν επαληθεύει την σχέση (1).
Να ερμηνεύσετε αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα.

Στην τελευταία συνεπαγωγή. x^3=1

$\Rightarrow$ x=1

ή

.

#3

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:02 am
Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $x^{2}+x+1=0$ .
Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$
Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γράφεται ως:
$x^{2}\cdot (-x)=1-2x^{3}\Rightarrow -x^{3}=1-2x^{3}\Rightarrow 2x^{3}-x^{3}=1\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$ .

Όμως ο αριθμός δεν επαληθεύει την σχέση (1).
Να ερμηνεύσετε αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα.

Αντρέα καλησπέρα...

Για τον ανωτέρω προβληματισμό που έβαλες με τίτλο "Φαινομενικά παράδοξο" θα μπορούσαμε να πούμε
μερικές ιδέες.

Αρχικά η σχέση (1) εκφράζει τον ακόλουθο προτασιακό τύπο:

$\displaystyle{p_1(x): x^2+x+1=0}$

Ο προτασιακός αυτός τύπος έχει σύνολο αναφοράς:

$\displaystyle{D_1=C}$

και σύνολο αλήθειας:

$\displaystyle{A_1=\left\{{\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \right \}}$

Μετά την ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει νέος προτασιακός τύπος:

$\displaystyle{p_2(x):(x^2+1)^2=1}$ με σύνολο αλήθειας: $\displaystyle{A_2=A_1\cup \left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right \}}$

Μετά την αντικατάσταση προκύπτει και πάλι νέος προτασιακός τύπος:

$\displaystyle{p_3(x):x^2(-x)=1-2x^3}$ με σύνολο αλήθειας: $\displaystyle{A_3=\left \{1,\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right \}}$

Έτσι παρατηρούμε ότι η τελική εξίσωση που προκύπτει, δηλαδή ο προτασιακός τύπος $\displaystyle{p_3(x)}$ , δεν έχει το ίδιο σύνολο
αλήθειας με τον αρχικό δηλαδή την αρχική εξίσωση.
Αυτό παρατηρείται και σε άλλου είδους πράξεις των προτασιακών τύπων (π.χ τετραγωνική ρίζα κλπ) για το λόγο αυτό
πρέπει πάντα να ελέγχουμε την όλη ροή των συλλογισμών. Μόνο σε ισοδύναμες πράξεις διατηρούνται αναλλοίωτα τα σύνολα
αλήθειας των προτασιακών αυτών τύπων.

Σημείωση:
Θυμάμαι πως κάποτε, πριν ίσως τριάντα χρόνια, διδάσκονταν οι έννοιες αυτές στην πρώτη Λυκείου...

Κώστας Δόρτσιος

Ανδρέας Πούλος · #4

Αγαπητέ Κώστα,
σε ευχαριστούμε που έγραψες μια αναλυτική περιγραφή για το τι συμβαίνει αν "πειράζουμε" τις μαθηματικές προτάσεις.
Αυτό έγραψε βέβαια και ο DrStrange, αλλά πολύ συνοπτικά.
Διαπιστώνω, ότι δεν υπάρχει και πολύ ενδιαφέρον για τον Προτασιακό Λογισμό από τους μαθητές
και δικαιολογημένα αφού είναι σήμερα εκτός του πνεύματος των εξετάσεων.
Στην Γ ΓΕΛ εκεί που εμφανίζονται αντιπαραδείγματα, αντιφάσεις και παράδοξα αυτά έχουν περιοριστεί στα εντελώς βασικά και τυποποιημένα.
Δεν σου κρύβω ότι τέτοια θέματα συζητάμε και στη Διδακτική Μαθηματικών με τους φοιτητές
και πολλές φορές δυσκολεύονται να απαντήσουν με σαφήνεια.

stranger · #5

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 31, 2021 6:16 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:02 am
Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $x^{2}+x+1=0$ .
Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$
Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γράφεται ως:
$x^{2}\cdot (-x)=1-2x^{3}\Rightarrow -x^{3}=1-2x^{3}\Rightarrow 2x^{3}-x^{3}=1\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$ .

Όμως ο αριθμός δεν επαληθεύει την σχέση (1).
Να ερμηνεύσετε αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα.
Αντρέα καλησπέρα...

Για τον ανωτέρω προβληματισμό που έβαλες με τίτλο "Φαινομενικά παράδοξο" θα μπορούσαμε να πούμε
μερικές ιδέες.

Αρχικά η σχέση (1) εκφράζει τον ακόλουθο προτασιακό τύπο:

$\displaystyle{p_1(x): x^2+x+1=0}$

Ο προτασιακός αυτός τύπος έχει σύνολο αναφοράς:

$\displaystyle{D_1=C}$

και σύνολο αλήθειας:

$\displaystyle{A_1=\left\{{\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \right \}}$

Μετά την ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει νέος προτασιακός τύπος:

$\displaystyle{p_2(x):(x^2+1)^2=1}$ με σύνολο αλήθειας: $\displaystyle{A_2=A_1\cup \left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right \}}$

Μετά την αντικατάσταση προκύπτει και πάλι νέος προτασιακός τύπος:

$\displaystyle{p_3(x):x^2(-x)=1-2x^3}$ με σύνολο αλήθειας: $\displaystyle{A_3=\left \{1,\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right \}}$

Έτσι παρατηρούμε ότι η τελική εξίσωση που προκύπτει, δηλαδή ο προτασιακός τύπος $\displaystyle{p_3(x)}$ , δεν έχει το ίδιο σύνολο
αλήθειας με τον αρχικό δηλαδή την αρχική εξίσωση.
Αυτό παρατηρείται και σε άλλου είδους πράξεις των προτασιακών τύπων (π.χ τετραγωνική ρίζα κλπ) για το λόγο αυτό
πρέπει πάντα να ελέγχουμε την όλη ροή των συλλογισμών. Μόνο σε ισοδύναμες πράξεις διατηρούνται αναλλοίωτα τα σύνολα
αλήθειας των προτασιακών αυτών τύπων.

Σημείωση:
Θυμάμαι πως κάποτε, πριν ίσως τριάντα χρόνια, διδάσκονταν οι έννοιες αυτές στην πρώτη Λυκείου...

Κώστας Δόρτσιος

Τα πράγματα είναι πιο απλά.
Το σωστό είναι να πεις ότι συνεπαγωγή δεν είναι πάντα ισοδυναμία.
Ουσιαστικά ο συλλογισμός δείχνει ότι αν υπάρχει ρίζα της x^2 + x +1 =0

τότε αυτή είναι ο αρθμός

.
Αυτό δεν σημαίνει το το

είναι ρίζα της εξίσωσης..Αν υπήρχε ρίζα τότε το

θα ήταν ρίζα.
Όμως δεν υπάρχει τέτοια ρίζα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:02 am
Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $x^{2}+x+1=0$ .
Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$
Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γράφεται ως:
$x^{2}\cdot (-x)=1-2x^{3}\Rightarrow -x^{3}=1-2x^{3}\Rightarrow 2x^{3}-x^{3}=1\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$ .

Όμως ο αριθμός δεν επαληθεύει την σχέση (1).
Να ερμηνεύσετε αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα.

$x^{2}+x+1=0 \Rightarrow (x^{2}+x +1)(x-1)=0 \Rightarrow x^{3}-1=0 \Rightarrow x=1$

Φαινομενικά παράδοξο

Φαινομενικά παράδοξο

Re: Φαινομενικά παράδοξο

Re: Φαινομενικά παράδοξο

Re: Φαινομενικά παράδοξο

Re: Φαινομενικά παράδοξο

Re: Φαινομενικά παράδοξο

Μέλη σε σύνδεση