Συντεταγμένες με δύο τρόπους

KARKAR · #1

: Συντεταγμένες με δύο τρόπους.png (9.86 KiB) Προβλήθηκε 2523 φορές

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

της πλευράς

, ώστε :

.

Απαραίτητη προϋπόθεση για να απαντήσετε : Να έχετε δύο διαφορετικές λύσεις !

22/8 : Πέρασε το δεκαήμερο , οπότε η άσκηση είναι ανοικτή σε όλους ...

Aba · #2

1ος τρόπος:
Το σημείο S είναι το σημείο τομής του κύκλου με κέντρο Β και ακτίνα ΑΒ και της πλευράς AC
Eξίσωση κύκλου: $(x+3)^{2}+(y+1)^2=40$
Εξίσωση ευθείας: $y-5=(x+1)\frac{5+1}{-1-7}\Rightarrow y-5=-(x+1)\frac{3}{4}\Rightarrow 4y+3x=17$
Λύνουμε το σύστημα των 2 εξισώσεων:
$(x+3)^{2}+(y+1)^2=40\Rightarrow$
$(3x+9)^2+(3y+3)^2=360\Rightarrow(26-4y)^2+(3y+3)^2=360\Rightarrow$
$16y^2-208y+676+9y^2+18y+9=360\Rightarrow$
$25y^2-190y+325=0\Rightarrow 5y^2-38y+65=0\Rightarrow$
y=5

(σημείο Α) or ${\color{Red} y=2.6}$
Για $y=2.6\Rightarrow$ x=2.2

Άρα, S(2.2,2.6)

2ος τρόπος:
Φέρουμε την κάθετη από το Β στην AC: $\lambda _{AC} *\lambda _{BD}=-1\Rightarrow \lambda _{BD}=\frac{4}{3}$
$y+1=\frac{4}{3}(x+3)\Rightarrow 3y-4x=9$
Για να βρούμε το D λύνουμε το σύστημα:
$\left\{\begin{matrix} 4y+3x=17\\ 3y-4x=9 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 12y+9x=51\\ -12y+16x=-36 \end{matrix}\right.\Rightarrow 25x=15\Rightarrow x=0.6$ και y=3.8

Άρα, D(0.6,3.8)
Πρέπει ΑD=DS $\Rightarrow AD=\sqrt{1.6^2+1.2^2}\Rightarrow AD=2$

$AD=DS=\sqrt{(x-0.6)^2+(y-3.8)^2}=2\Rightarrow (x-0.6)^2+(y-3.8)^2=4$
Για να βρούμε το S λύνουμε το σύστημα:
$\left\{\begin{matrix} (x-0.6)^2+(y-3.8)^2=4\\ 4y+3x=17 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3x-1.8)^2+(3y-11.4)^2=36\\ 4y+3x=17 \end{matrix}\right. \Rightarrow$
$(4y-15.2)^2+(3y-11.4)^2=36\Rightarrow$ $16y^2-121.6y+231.04+9y^2-68.4y+129.96=36\Rightarrow 25y^2-190y+325=0$
Kαι συνεχίζουμε όπως στον 1ο τρόπο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 10:15 am
Συντεταγμένες με δύο τρόπους.pngΒρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της πλευράς , ώστε : .

Απαραίτητη προϋπόθεση για να απαντήσετε : Να έχετε δύο διαφορετικές λύσεις !

22/8 : Πέρασε το δεκαήμερο , οπότε η άσκηση είναι ανοικτή σε όλους ...

1. Τρόπος

: Συντεταγμένες με δύο τρόπους_a.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 2368 φορές

$\overrightarrow {AC} = \left( {8, - 6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {64 + 36} = 10 = BC$ . Ενώ, $\overrightarrow {BA} = \left( {2,6} \right) \Rightarrow BA = \sqrt {4 + 36} = 2\sqrt 10$

Από την προφανή ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SAB$ προκύπτει : AS = 4

.

Ας είναι $S\left( {x,y} \right)$ . Επειδή $\overrightarrow {AS} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = \frac{{16}}{5} \hfill \\ y - 5 = - \frac{{12}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{11}}{5} \hfill \\ y = \frac{{13}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

2. τρόπος

: Συντεταγμένες με δύο τρόπους_b.png (21.6 KiB) Προβλήθηκε 2368 φορές

Φέρνω την κάθετη ,

, από το

στην

. Επειδή $E:\,\left\{ \begin{gathered} y - 5 = - \frac{3}{4}\left( {x + 1} \right) \hfill \\ y + 1 = \frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχω :

$E:\,\,\left\{ \begin{gathered} x = \frac{3}{5} \hfill \\ y = \frac{{19}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S:\,\,\left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot \frac{3}{5} + 1 \hfill \\ y = 2 \cdot \frac{{19}}{5} - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S:\,\,\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{11}}{5} \hfill \\ y = \frac{{13}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Συντεταγμένες με δύο τρόπους

Συντεταγμένες με δύο τρόπους

Re: Συντεταγμένες με δύο τρόπους

Re: Συντεταγμένες με δύο τρόπους

Μέλη σε σύνδεση