Συναρτησιακή Ανισότητα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Ιουν 01, 2010 6:52 pm

Έστω a,b \in \mathbb{R} και c>0 ώστε a+b=2c. Αν f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} συνάρτηση με την ιδιότητα af(xy)+bf(xz) \geq f(x)f(yz)+c^2, \forall x,y,z \in \mathbb{R}
1) Να αποδειχθεί ότι η f δεν είναι 1-1
2) Ισχύει f(\mathbb{R})= \mathbb{R} ;
Μέχρι 6/6
Φάκελος :Μαθηματικά Γ Λυκείου, Συναρτήσεις, όρια, συνέχεια.
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
air
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 20, 2010 4:28 pm

Re: Συναρτησιακή Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από air » Τρί Ιουν 01, 2010 7:14 pm

Ελπίζω να μετράω ακόμα ως μαθητής. :lol:

Τώρα για την άσκηση:

i)η δοθείσα για x=y=z=0 δίνει af(0)+bf(0)\geq f^2(0)+c^2 \Leftrightarrow  2cf(0)\geq f^2(0)+c^2 και με τη βοήθεια της ταυτότητας προκύπτει ότι f(0)=c

όμοια για x=y=z=1 προκύπτει ότι f(1)=c

άρα f δεν είναι "1-1"

ii) Η δοθείσα για y=z=0 δίνει af(0)+bf(0)\geq f(x)f(0)+c^2 \Leftrightarrow  c(a+b)\geq cf(x)+c^2\Leftrightarrow 2c^2\geq cf(x)+c^2

έτσι αφού c>0 έχουμε ότι f(x)\leq c δηλαδή η f είναι φραγμένη και δεν έχει σύνολο τιμών το \mathbb R.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτησιακή Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Ιουν 01, 2010 8:03 pm

:clap2: :clap2:
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 2 επισκέπτες