Όταν ο Αρχιμήδης...

BAGGP93 · #1

Έστω σημεία $B(x_1,\,y_1)$ και $B'(x_2,\,y_2)$ σημεία του επιπέδου με $0\neq x_1<x_2$ και $y_1\neq y_2$ .

1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παραβολική $f(x)=a\,x^2+b\,x+c,\,\,x\in\mathbb{R}$ που διέρχεται από τα σημεία $B,\,B'$ και την αρχή των αξόνων.

2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $M(\xi,\,\rho)$ του επιπέδου της παραβολής από το οποίο διέρχεται παράλληλη ευθεία προς το ευθύγραμμο τμήμα B B'

.

3) Να αποδείξετε ότι η κάθετη κατακόρυφη ευθεία $x=\xi$ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα B B'

.

Β-Γ Λυκείου: 21/3/2025, 7:00 το απόγευμα.

KARKAR · #2

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 20, 2025 6:31 pm
Έστω σημεία $B(x_1,\,y_1)$ και $B'(x_2,\,y_2)$ σημεία του επιπέδου με $0\neq x_1<x_2$ και $y_1\neq y_2$ .

2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $M(\xi,\,\rho)$ του επιπέδου της παραβολής από το οποίο διέρχεται παράλληλη ευθεία προς το ευθύγραμμο τμήμα .

2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $M(\xi,\,\rho)$ του επιπέδου της παραβολής από το οποίο διέρχεται παράλληλη ευθεία προς το ευθύγραμμο τμήμα B B'

.

Είναι φανερό ότι το

είναι το σημείο επαφής , επομένως στην διατύπωση καλύτερα να παραλειφθεί το κοκκινισμένο .

: Πέτρινη.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 1528 φορές

#3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 20, 2025 6:31 pm
Έστω σημεία $B(x_1,\,y_1)$ και $B'(x_2,\,y_2)$ σημεία του επιπέδου με $0\neq x_1<x_2$ και $y_1\neq y_2$ .

1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παραβολική $f(x)=a\,x^2+b\,x+c,\,\,x\in\mathbb{R}$ που διέρχεται από τα σημεία $B,\,B'$ και την αρχή των αξόνων.

2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $M(\xi,\,\rho)$ του επιπέδου της παραβολής από το οποίο διέρχεται παράλληλη ευθεία προς το ευθύγραμμο τμήμα .

3) Να αποδείξετε ότι η κάθετη κατακόρυφη ευθεία $x=\xi$ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα .

.
Για να κλείνει:

1) Προφανώς c=0

. Για να βρούμε τα a,b

δεν έχουμε παρά να λύσουμε το απλό γραμμικό σύστημα $y_1=ax_1^2+bx_1, \, y_2=ax_2^2+bx_2$ . Θα βρούμε

$a= \dfrac {y_1x_2-y_2x_1}{x_1x_2(x_1-x_2)} , \, b= \dfrac {y_2x_1^2-y_1x_2^2}{x_1x_2(x_1-x_2)}$

2) Πρόκειται για το Θεώρημα Rolle. Όπως και να είναι, κοιτώντας τις κλίσεις, δεν έχουμε παρά να λύσουμε το σύστημα $\dfrac {y_2-y_1}{x_2- x_1}=2a\xi +b$ . Θα βρούμε $\xi = \dfrac {x_1+x_2}{2}$ .

To τελευταίο απαντά και στο ερώτημα 3) αφού η τετμημένη του μέσου του τμήματος με άκρα τα $B(x_1,\,y_1)$ και $B'(x_2,\,y_2)$ είναι $\dfrac {x_1+x_2}{2}$

Όταν ο Αρχιμήδης...

Όταν ο Αρχιμήδης...

Re: Όταν ο Αρχιμήδης...

Re: Όταν ο Αρχιμήδης...

Μέλη σε σύνδεση