Ισοδυναμία ισχυρισμών

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ισοδυναμία ισχυρισμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιουν 14, 2010 9:28 am

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ax^2+bx+c, x\in \mathbb{R}, όπου a,b,c \in \mathbb{R}, a \neq 0. Με C_f παριστάνουμε το σύνολο των συντεταγμένων της γραφικής παράστασης της f. Θεωρούμε την g:C_f \to \mathbb{R} με g((x,y))=|x|+|y|. Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι
(1) g(C_f)=[0,+\infty)
(2) c=0
Άλγεβρα Α Λυκείου
Μέχρι 26/6
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοδυναμία ισχυρισμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Πέμ Ιουν 24, 2010 1:33 pm

Λοιπόν μιας και δε βλέπω ανταπόκριση απο τους μαθητές της Α...

g(x,y)=\left|x \right|+\left|y \right|\geq 0.Δηλαδή το σύνολο τιμών της g είναι το [0,+\infty) με την τιμή 0 να λαμβάνεται αν και μόνο αν x=y=0.Όμως αφού τα (x,y) επαληθεύουν την f(x) πρέπει και αρκεί c=0 διότι σε αντίθετη περίπτωση οι συντεταγμένες (x,y)=(0,0) δε θα την επαλήθευαν.

Φιλικά Χρήστος

ΥΓ:κ.Σπύρο οι ασκήσεις σας σε αυτό το topic είναι πολύ όμορφες :clap2: .Το βλέπω και στις λίγο παλιότερες ασκήσεις


Στραγάλης Χρήστος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ισοδυναμία ισχυρισμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιουν 28, 2010 10:46 am

Φίλε Χρήστο σε ευχαριστώ. Με ενδιαφέρουν οι μαθητές και οι φοιτητές που αγαπούν τα Μαθηματικά και χαίρομαι να τους βλέπω να πετυχαίνουν. Στην προκείμενη περίπτωση, όμως, ζητώ συγνώμη για τη επιλογή φακέλου, γιατί, όσο και αν επιχείρησα δεν μπόρεσα να βρω μία λύση από το (2) στο (1) μέσα στα πλαίσια της ύλης της Α Λυκείου. Παραθέτω τη λύση μου και παρακαλώ τον επιμελητή, αν δεν βρεθεί κάτι άλλο να βάλει το θέμα στα γενικά θέματα
(1) \Rightarrow (2) : Θα υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} ώστε |x_0|+|y_0|=0 \Rightarrow x_0=0 και f(x_0)=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow c=0
(2) \Rightarrow (1) : Έστω ότι c=0 και k \in [0,+\infty). Αν k=0, τότε g((0,f(0))=0 \Rightarrow 0 \in g(C_f). Αν k>0, τότε θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=|x|+|ax^2+bx|-k, x\geq 0 , η οποία είναι συνεχής και επιπλέον h(0)=-k<0, \displaystyle\lim_{x \to + \infty}h(x)=+ \infty, άρα υπάρχει x_0 >0 ώστε h(x_0)=0, συνεπώς k \in g(C_f)
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοδυναμία ισχυρισμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιουν 28, 2010 11:57 am

Σπύρο γράφω κάποια επιχειρήματα για να αντιμετωπιστεί η άσκηση χωρίς να φύγει από την Α Λυκείου. Δεν είναι αυστηρά με τα συνηθισμένα στάνταρ αυστηρότητας που είμαστε συνηθισμένοι αλλά εύκολα μπορούν να γίνουν. Και ίσως κάποια παιδιά να βρουν ότι έχουν λίγη πλάκα.
Ας υποθέσουμε ότι αλλάζουμε την απόσταση των σημείων του επιπέδου και χρησιμοποιούμε την απόσταση της Γεωμετρίας του Ταξιτζή (Taxicab Geometry). Δηλαδή αντί να πάρουμε σαν απόσταση των A\left( x_{1},y_{1}\right) ,B\left( x_{2},y_{2}\right) τον αριθμό
d\left( A,B\right) =\sqrt{\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}+\left| y_{1}-y_{2}\right| ^{2}}
παίρνουμε τον αριθμό
d\left( A,B\right) =\left| x_{1}-x_{2}\right| +\left| y_{1}-y_{2}\right|
Για δοθέν σημείο M\left( x,y\right) η παράσταση \left| x\right| +\left| y\right| είναι η νέα απόσταση του M από την αρχή των αξόνων. Τα σημεία που απέχουν από την αρχή των αξόνων δοθείσα απόσταση βρίσκονται σε ένα "κύκλο" με "κέντρο" την αρχή των αξόνων που δεν θα είναι παρά ένα τετράγωνο.
distance.png
distance.png (43.08 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης μας είναι μία παραβολή. Η ελάχιστη απόσταση που μπορεί να έχει ένα σημείο της από την αρχή των αξόνων θα είναι μηδέν αν και μόνο αν διέρχεται από την αρχή των αξόνων δηλαδή c=0. Επομένως:
το 0 είναι τιμή της g αν και μόνο αν c=0
Εύκολα διαπιστώνουμε από την στιγμή που ισχύει η παραπάνω συνθήκη ότι κάθε θετικός αριθμός r είναι τιμή της g αφού o "κύκλος" με κέντρο το Ο και ακτίνα r τέμνει πάντα την παραβολή.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ισοδυναμία ισχυρισμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιούλ 05, 2010 12:27 am

Νίκο, τώρα μόλις είδα τη καταπληκτική προσέγγισή σου. Πολύ ωραίος τοπολογικός τρόπος!!! (Ο κύκλος έγινε τετράγωνο)
Τι θαυμάσια πράγματα κάνει η αλλαγή μετρικής!! Σε ευχαριστώ
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης