Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Οκτ 04, 2010 1:52 pm

Να βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες έχουν την ιδιότητα: (f(sinx))^2-3f(x)+2=0, \forall x \in \mathbb{R}
Μέχρι 10/10
Μαθηματικά Γ Λυκείου-Συναρτήσεις, όρια , Συνέχεια


Σπύρος Καπελλίδης
Dreamkiller
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Δευ Οκτ 04, 2010 2:58 pm

Θέτω όπου x το x+2\pi:
f^3(sin(x+2\pi)) -3f(x+2\pi)+2=f^3(sinx)-3f(x+2\pi)+2=0.
Άρα από τη δοθείσα προκύπτει ότι f(x+2\pi)=f(x) για κάθε x, αδύνατον αφού η f είναι 1-1.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Οκτ 04, 2010 7:00 pm

Dreamkiller, καλησπέρα. Σε καλό δρόμο είσαι, αλλά πρόσεχε, οι μονότονες συναρτήσεις δεν είναι απαραίτητα 1-1. Οι γνησίως μονότονες είναι 1-1. Μία μονότονη, η οποία δεν είναι γνησίως μονότονη, έχει ένα τουλάχιστον υποδιάστημα στο πεδίο ορισμού της, στο οποίο είναι σταθερή.
Επίσης πρόσεχε τις πράξεις. Το f^3(x) κλπ δεν προκύπτει από κάπου
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Εύρεση μονοτόνων συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Οκτ 22, 2010 11:05 am

Κατ' αρχάς αν στη δοθείσα θέσουμε όπου x το 0 θα έχουμε
\displaystyle{f^2(0)-3f(0)+2=0}(1) και αν θέσουμε όπου x to \displaystyle{2k \pi} θα έχουμε \displaystyle{f^2(0)-3f(2k \pi)+2=0} (2)
Από τις (1) και (2) έχουμε
\displaystyle{f(0)=f(2k \pi), \forall k \in \mathbb{Z}}
Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι η \displaystyle{f} είναι αύξουσα.
Αν \displaystyle{x_0>0}, τότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος \displaystyle{k}, ώστε \displaystyle{0<x_0<2k\pi \Rightarrow f(0) \leq f(x_0) \leq f(2k\pi)=f(0) \Rightarrow f(x_0)=f(0)}.
Ομοίως καταλήγουμε στο \displaystyle{f(x_0)=f(0)}, αν \displaystyle{x_0<0}
Συνεπώς οι λύσεις του προβλήματος είναι οι σταθερές συναρτήσεις με σταθερή τιμή \displaystyle{0} ή \displaystyle{1}, γιατί \displaystyle{f(0)=0} ή \displaystyle{f(0)=1}*
Φιλικά
Φωτεινή ευχαριστώ για τη διόρθωση της αβλεψίας

*Γιώργο, ευχαριστώ για την παρέμβαση


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης