Σελίδα 1 από 1

Οριο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 10, 2010 11:43 pm
από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Καλησπέρα.
Ένα ειδικό θέμα στα Όρια είναι η ακόλουθη άσκηση:

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} για την οποία ισχύει: \displaystyle{{f^3}(x) + f(x) - 1 = 0} για κάθε \displaystyle{x \in R}.
Να υπολογισθεί το όριο\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {f(x)\cdot\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu {x^4}}}{{{x^4}}}} \right)}
H άσκηση μετά από τις 20 Οκτωβρίου να μεταφερθεί στο φάκελλο Γ Λυκείου- Ορια Συνέχεια
βοήθεια: Δείξτε ότι \displaystyle{0 < f(x) \le 1}

Re: Οριο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 17, 2010 1:38 pm
από chris
Ισχύει \displaystyle f^3(x)+f(x)=1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{f^2(x)+1}\leq 1\Rightarrow 0<f(x)\leq 1 {\color{red} (*)} αφού \displaystyle \frac{1}{f^2(x)+1}>0

Άρα
\displaystyle \left|f(x)\frac{1-cosx^4}{x^4} \right|\stackrel{{\color{red} (*)}}\leq \left|\frac{1-cosx^4}{x^4} \right|\Rightarrow \frac{cosx^4-1}{x^4}\leq  f(x)\frac{1-cosx^4}{x^4} \leq -\frac{cosx^4-1}{x^4} (1)


Όμως \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{cosx^4-1}{x^4} \right)}\stackrel{x^4=u}=\lim_{u\rightarrow 0}{\left(\frac{cosu-1}{u} \right)} =0=\lim_{x\rightarrow 0}{\left(-\frac{cosx^4-1}{x^4} \right)}


Άρα απο το Κριτήριο Παρεμβολής και την (1):
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\left(f(x)\cdot\frac{1-cosx^4}{x^4} \right) }=0


Χρήστος