Τέλεια τετράγωνα

[Mihalis_Lambrou]

Να χωριστούν οι αριθμοί σε εννιά ζευγάρια έτσι ώστε το άθροισμα των δύο αριθμών σε κάθε ζευγάρι να
είναι τέλειο τετράγωνο.
Τέλεια τετράγωνα ονομάζονται οι αριθμοί και λοιπά.

Ας την αφήσουμε για τα παιδιά του Δημοτικού. Μετά ας επέμβουν τα παιδιά του Γυμνασίου. Και πάει λέγοντας, μέχρι τους παππούδες.

[Mihalis_Lambrou]

Ανοικτή σε όλους.

[kfd]

18,7
17,8
16,9
15,1
14,2
13,3
12,4
11,5
6,10

[Mihalis_Lambrou]

18,7
17,8
16,9
15,1
14,2
13,3
12,4
11,5
6,10

Σωστό μεν αλλά θέλεις να μας πεις πώς σκέφτηκες; Δεν είναι μόνο για τυπικούς λόγους αλλά λείπει ένα ουσιαστικό μέρος της απάντησης: Πρέπει να πείσουμε ότι δεν υπάρχει και άλλη λύση.

Θα χαρούμε να δούμε την λύση σου αλλά, μην ξεχνάς, ο κανονισμός μας λέει ότι πρέπει να είναι σε latex.

[Summand]

Καλησπέρα!


Προφανώς το άθροισμα δύο αριθμών από τη συλλογή είναι μικρότερο του και μεγαλύτερο του


Τα τέλεια τετράγωνα μεταξύ του και του είναι


Όμως όλοι οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι της μονάδας άρα ο δεν μπορεί να προκύψει ως άθροισμα δύο στοιχείων της συλλογής


Άρα τα "κατασκευάσιμα" τέλεια τετράγωνα είναι


Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του άρα πρέπει να "καταλήγουν" στο αφού δεν

υπάρχουν άλλα τέλεια τετράγωνα μεταξύ και οπότε σταθεροποιούμε τα ζευγάρια


Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι οι αριθμοί μπορούν να καταλήγουν είτε στο είτε στο


Έστω ότι όλοι καταλήγουν στο , δηλαδή ότι έχουμε τα ζευγάρια . Τότε θα πρέπει όλοι οι αριθμοί από

το σύνολο να καταλήγουν στο αφού το μέγιστο άθροισμα δύο στοιχείων από αυτό το σύνολο είναι

.

Αυτό όμως είναι άτοπο αφού για να συμβεί αυτό θα έπρεπε να έχουμε τα ζευγάρια αλλά ο

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.


Επιπλέον δεν είναι δυνατό να έχουμε το ζευγάρι αφού μετά οι μόνοι δυνατοί συνδυασμοί για το

είναι από τους οποίους κανένας δεν είναι τέλειο τετράγωνο.


Άρα τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς από μέχρι καταλήγει στο


Ο αριθμός δεν μπορεί να καταλήγει ούτε στο ούτε στο άρα καταλήγει αναγκαστικά στο

Όμοια για τον αριθμό . Άρα έχουμε .


Τώρα όμως έχουν απομείνει οι αριθμοί και . Οι αριθμοί του πρώτου συνόλου έχουν άθροισμα ανά δύο

μεγαλύτερο του 21 και μικρότερο του 25 άρα δεν μπορούν να δώσουν ως αθροίσματα τέλειο τετράγωνο.

Τα στοιχεία του δεύτερου συνόλου είναι όλα μικρότερα από αυτά του πρώτου άρα το άθροισμα ενός στοιχείου από το πρώτο και το δεύτερο σύνολο

είναι σίγουρα μικρότερο του οπότε πρέπει όλα τα ζευγάρια να καταλήγουν στο .

Η μόνη τέτοια δυνατή τοποθέτηση είναι τα ζευγάρια


Συνολικά η μοναδική δυνατή τοποθέτηση είναι:












Φιλικά,
Γιάννης Ν.

[Mihalis_Lambrou]

[Demetres]

οπότε σταθεροποιούμε τα ζευγάρια

Πιο σύντομα από εδώ. Το αναγκαστικά πρέπει να πάει με το αφού το έχει χρησιμοποιηθεί. Ομοίως παίρνουμε αναγκαστικά τα πιο κάτω ζευγάρια με αυτήν την σειρά. (Σε κάθε ζευγάρι το αριστερό μέλος μας αναγκάζει να το ταιριάξουμε με το δεξί.)

[Demetres]

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την άσκηση για να εισαγάγουμε στους μαθητές τη θεωρία γραφημάτων. Η πιο κάτω εικόνα αξίζει χίλιες λέξεις.