Ο ένας γράφει, ο άλλος σβήνει

[Mihalis_Lambrou]

.
O Πυθαγόρας έγραψε στον πίνακα μερικούς θετικούς αριθμούς μικρότερους του . Μετά ο Αρχιμήδης έσβησε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς και τον αντικατέστησε με την διαφορά του από το . Για παράδειγμα αν ήταν γραμμένος ο , τότε τον αντικατέστησε με τον . Το άθροισμα των αριθμών του Πυθαγόρα ήταν . Το άθροισμα των αριθμών του Αρχιμήδη είναι . Πόσους αριθμούς είχε γράψει στην αρχή ο Πυθαγόρας;

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού.)

[kfd]

Στη λίστα του Αρχιμήδη θα βρίσκονται τόσα 7άρια όσοι και οι αριθμοί που είχε γράψει αρχικά ο Πυθαγόρας, έστω ν. Αν ήταν γραμμένος ο α στη λίστα του Πυθαγόρα, τότε στη λίστα του Αρχιμήδη θα είναι γραμμένος ο 7-α. Άρα το άθροισμα των αριθμών του Αρχιμήδη θα εκφράζεται και ως 7-α+7-β+…=7ν-(α+β+…)=7ν-22, αφού όταν σβήνεται πχ ο 3 γράφεται ο 7-3. Έτσι θα ισχύει 7ν-22=34, αρα ν=8, δηλαδή ο Πυθαγόρας είχε γράψει αρχικά 8 αριθμούς.

[Mihalis_Lambrou]

.
O Πυθαγόρας έγραψε στον πίνακα μερικούς θετικούς αριθμούς μικρότερους του . Μετά ο Αρχιμήδης έσβησε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς και τον αντικατέστησε με την διαφορά του από το . Για παράδειγμα αν ήταν γραμμένος ο , τότε τον αντικατέστησε με τον . Το άθροισμα των αριθμών του Πυθαγόρα ήταν . Το άθροισμα των αριθμών του Αρχιμήδη είναι . Πόσους αριθμούς είχε γράψει στην αρχή ο Πυθαγόρας;

.
Επειδή η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές του Δημοτικού ας δούμε, ουσιαστκά την ίδια λύση, χωρίς χρήση μεταβλητών.

Το άθροισμα οποιουδήποτε παλιού αριθμού με τον αντίστοιχο νέο είναι, εξ ορισμού, . Με άλλα λόγια, αν πάρουμε τους αριθμούς αυτούς σε ζευγάρια, έναν παλιό με τον αντίστοιχο νέο, το άθροισμα κάθε ζευγαριού είναι (όλα τα ζευγάρια το ίδιο). Τώρα, αφού το άθροισμα των παλιών και των νέων αριθμών είναι , σημαίνει ότι υπάρχουν ζευγάρια. Οπότε στην αρχή ήταν γραμμένοι 8 αριθμοί.