Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Peri2005 · #1

Προσπαθώ να κατασκευάσω στο Geogebra την Δραστηριότητα 15 του ΑΠΣ της Γεωμετρίας Α' Λυκείου που λέει:

Δυο σταθεροί κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ενώ ένας τρίτος κύκλος μεταβάλλεται έτσι ώστε να εφάπτεται στον μεγαλύτερο εσωτερικά και στον μικρότερο εξωτερικά.
Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου που έχει κορυφές τα κέντρα των τριών κύκλων είναι σταθερή και ίση με τη διάμετρο του μεγαλύτερου κύκλου.

Δηλαδή ο τρίτος κύκλος πρέπει να μεταβάλλεται.

Καμμιά βοήθεια;

KARKAR · #2

: Έλλειψη.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 3032 φορές

Ο μεγάλος κύκλος έχει ακτίνα

ο μικρότερος

, ενώ το κέντρο του μικρούλη

είναι το

, το οποίο κινείται στην έλλειψη : $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{15}=1$ . Παρατήρησε που

τοποθετήθηκαν τα κέντρα K,Q

( εστίες ) και το

, που είναι μέσο του

..

Christos.N · #3

Και ένα δυναμικό σχήμα που κατασκευάστηκε βασισμένο στο προς απόδειξη.

κύκλοι.ggb: (14.3 KiB) Μεταφορτώθηκε 108 φορές

Peri2005 · #4

Ευχαριστώ πολύ!

#5

Peri2005 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2017 12:36 pm
Προσπαθώ να κατασκευάσω στο Geogebra την Δραστηριότητα 15 του ΑΠΣ της Γεωμετρίας Α' Λυκείου που λέει:

Δυο σταθεροί κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ενώ ένας τρίτος κύκλος μεταβάλλεται έτσι ώστε να εφάπτεται στον μεγαλύτερο εσωτερικά και στον μικρότερο εξωτερικά.
Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου που έχει κορυφές τα κέντρα των τριών κύκλων είναι σταθερή και ίση με τη διάμετρο του μεγαλύτερου κύκλου.

Δηλαδή ο τρίτος κύκλος πρέπει να μεταβάλλεται.

Καμμιά βοήθεια;

Καλημέρα....

Μια ιδέα, πέρα από τη σημερινή γεωμετρική πραγματικότητα της σχολικής τάξης,..., έρχεται από τα παλιά
αλλά με σύγχρονη πλέον τεχνολογία.

Η κατασκευή του τρίτου κύκλου(ουσιαστικά απολλώνεια κατασκευή), γίνεται και με τη μέθοδο του
γεωμετρικού μετασχηματισμού της αντιστροφής, που σήμερα τόσο εύκολα μπορούμε να διαχειριστούμε με τα
σύγχρονα λογισμικά.

Αναφέρω έναν τρόπο(υπάρχει και δεύτερος) που εξελίσσεται σε τρείς φάσεις:

1η φάση- Σχήμα πρώτο.

: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων με το ggb 1.png (34.92 KiB) Προβλήθηκε 2949 φορές

Με κέντρο το σημείο $\displaystyle{B}$ και τυχαία ακτίνα κατασκευάζω έναν κύκλο που να τέμνει τους δύο δοθέντες.
Τότε οι κοινές χορδές $\displaystyle{e_1,e_2}$ είναι οι εικόνες των δύο αυτών κύκλων μέσω της αντιστροφής που
ορίζει το κέντρο $\displaystyle{B}$ και ο κύκλος $\displaystyle{(B,BS)}$ .
Η φάση αυτή τελειώνει με το να κατασκευάσω και τη μεσοπαράλληλη $\displaystyle{e_o}$ των $\displaystyle{e_1,e_2}$ .

2η φάση - Σχήμα δεύτερο.

: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων με ggb 2.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 2949 φορές

Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{K}$ της μεσοκαθέτου $\displaystyle{e_o}$ γράφω έναν κύκλο που να εφάπτεται στις
δυο αυτές παραλλήλους $\displaystyle{e_1,e_2}$ .

3η φάση - Σχήμα τρίτο.

: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων με ggb3.png (48.56 KiB) Προβλήθηκε 2949 φορές

Εύκολα τώρα, και με τη βοήθεια του λογισμικού, κατασκευάζουμε την εικόνα του κύκλου
με κέντρο το σημείο $\displaystyle{K}$ που είναι και ο ζητούμενος κύκλος.
Το κέντρο του κύκλου αυτού πρέπει να προσέξουμε ότι δεν είναι η εικόνα του κέντρου $\displaystyle{K}$ ,
όμως τα σημεία επαφής είναι εικόνες των σημείων επαφής του αρχικού κύκλου με τις $\displaystyle{e_1,e_2}$
κι από αυτές μπορούμε να βρούμε το κέντρο $\displaystyle{L}$ και στη συνέχεια το γεωμετρικό τόπο αυτού,
όπως φαίνεται και στο σχήμα αυτό.

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα για καλύτερη κατανόηση.

Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων 2.ggb: (24.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 91 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#6

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 9:05 am

Peri2005 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2017 12:36 pm
Προσπαθώ να κατασκευάσω στο Geogebra την Δραστηριότητα 15 του ΑΠΣ της Γεωμετρίας Α' Λυκείου που λέει:

Δυο σταθεροί κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ενώ ένας τρίτος κύκλος μεταβάλλεται έτσι ώστε να εφάπτεται στον μεγαλύτερο εσωτερικά και στον μικρότερο εξωτερικά.
Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου που έχει κορυφές τα κέντρα των τριών κύκλων είναι σταθερή και ίση με τη διάμετρο του μεγαλύτερου κύκλου.

Δηλαδή ο τρίτος κύκλος πρέπει να μεταβάλλεται.

Καμμιά βοήθεια;
Καλημέρα....

Μια ιδέα, πέρα από τη σημερινή γεωμετρική πραγματικότητα της σχολικής τάξης,..., έρχεται από τα παλιά
αλλά με σύγχρονη πλέον τεχνολογία.

Η κατασκευή του τρίτου κύκλου(ουσιαστικά απολλώνεια κατασκευή), γίνεται και με τη μέθοδο του
γεωμετρικού μετασχηματισμού της αντιστροφής, που σήμερα τόσο εύκολα μπορούμε να διαχειριστούμε με τα
σύγχρονα λογισμικά.
Αναφέρω έναν τρόπο(υπάρχει και δεύτερος) που εξελίσσεται σε τρείς φάσεις:
..............................
Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα...
Αναρτώ και τον άλλο τρόπο τον οποίο είχα σημειώσει στην αρχική μου ανάρτηση
με το ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή εφαπτόμενου κύκλου δύο κύκλων 5.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 2867 φορές

Θεωρώ την κοινή εφαπτομένη $\displaystyle{(e)}$ των δύο δοθέντων κύκλων και πάνω σ' αυτήν
ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ .

Προφανώς το σημείο $\displaystyle{M}$ θα είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων, δηλαδή των
δύο δοθέντων και του ζητούμενου. Έτσι προκύπτει η κατασκευή:

Με κέντρο το σημείο $\displaystyle{M}$ και με ακτίνα την $\displaystyle{MB}$ , φέρουμε κύκλο ο οποίος θα
τέμνει τους δοθέντες κύκλους στα σημεία $\displaystyle{S,T}$ , τα οποία θα είναι και τα σημεία
επαφής του ζητούμενου κύκλου με τους δοθέντες.

Στη συνέχεια η κατασκευή του κέντρου $\displaystyle{N}$ του ζητούμενου κύκλου είναι εύκολη.

Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων 4 .ggb: (21.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 72 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Ανδρέας Πούλος · #7

Κατ΄ αρχάς δεν μπορώ να μην υποκλιθώ στην τέχνη του "μαιτρ" φίλου Κώστα Δόρτσιου.
Όχι ότι αυτά που ανάρτησαν οι άλλοι συνάδελφοι δεν είναι αξιόλογα.
Όμως ο Κώστας προσπαθεί να βρει γενικούς τρόπους επίλυσης στα προβλήματα που τίθονται για επίλυση.
Η άσκηση αυτή του σχολικού βιβλίου τέθηκε ουσιαστικά για να διαπιστώσουν αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των ακτίνων των τριών κύκλων και των διακεντρικών αποστάσεων.
Από την άποψη αυτή είναι απλή.
Το να ζητάμε την εύρεση του γεωμετρικού τόπου των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους άλλους δύο είναι αρκετά βήματα πιο ψηλά.
Ίσως, αυτό να γίνει για δική μας επιμόρφωση ή στο πλαίσιο ενός Ομίλου Μαθηματικών. Πολύ καλά τέθηκε ως θέμα για συζήτηση.
Στην τάξη πρέπει όμως τα βήματα που κάνουμε να είναι διαδοχικά και όχι απότομα.
Συνήθως, συστήνω στους συναδέλφους να κάνουν τις εξής ενδιάμεσες ασκήσεις.

1. Να βρουν (να κατασκευάσουν, αν και η έννοια αυτή σήμερα είναι ασαφής στους μαθητές) τον κύκλο που έχει ακτίνα τη μισή του μεγαλύτερου κύκλου από τους δύο εφαπτόμενους.
2. Να βρουν (να κατασκευάσουν) τον κύκλο που η ακτίνα του είναι η διαφορά των ακτίνων των δύο αρχικών κύκλων.
3. Υπάρχει περίπτωση το κέντρο του ζητούμενου κύκλου με τα κέντρα των άλλων δύο δεδομένων να είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου;
Να αιτιολογήσουν τον ισχυρισμό τους και να τον βρουν (να τον κατασκευάσουν) αν υπάρχει.

Πάντως, η άσκηση αυτή προσφέρεται για πολλές δραστηριότητες, παρά τον περιορισμό που υπάρχει στη Γεωμετρία στο Σχολείο.

KARKAR · #8

: Έλλειψη.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 2825 φορές

Ο τρόπος παρουσίασης των θεμάτων από τον Κώστα Δόρτσιο είναι εκπληκτικός

και πρέπει να του πούμε άλλη μια φορά ένα μεγάλο ευχαριστώ !.

Στην αρχική του , πάντως , ανάρτηση , ο συνάδελφος (;) Peri2005 , ζήτησε

έναν Geogebr-ικό τρόπο κατασκευής του συγκεκριμένου σχήματος .

Θεωρώντας ως άξονα x'x

τη διακεντρική ευθεία των δύο κύκλων

και ως αρχή των αξόνων το μέσο

της διακέντρου

,

αποδείχθηκε εδώ , ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των μπλε κύκλων ,

είναι η έλλειψη : $\dfrac{4x^2}{(R+r)^2}+\dfrac{y^2}{Rr}=1$ , οπότε για οποιοδήποτε σημείο

της έλλειψης αυτής , προκύπτει άμεσα και ένας τέτοιος κύκλος .

Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Re: Κατασκευή εφαπτόμενων κύκλων στο Geogebra

Μέλη σε σύνδεση