Αναδρομικός τύπος....

Ωmega Man · #1

Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{a_n}$ με αναδρομικό τύπο $\displaystyle{a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_{n}^{n+1}+a_n}$ για $\displaystyle{a_{1}\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$ , συγκλίνει η ;

#2

Ωmega Man έγραψε:Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{a_n}$ με αναδρομικό τύπο $\displaystyle{a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_{n}^{n+1}+a_n}$ για $\displaystyle{a_{1}\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$ , συγκλίνει η ;

Επαγωγικά δείχνουμε ότι 0<a_n<1

. Πράγματι, για το επαγωγικό βήμα έχουμε $a_n^{n+1} = a_n\cdot a_n^n < a_n$ άρα $1>a_n > a_n- \frac{1}{2}a_n^{n+1} > a_n - \frac {1}{2}a_n = \frac {1}{2}a_n >0 \,\, (*)$ οπότε $1 > a_{n+1}>0$ .
H (*)

δείχνει ακόμη ότι η ακολουθία (a_n)

είναι φθίνουσα, άρα συγκλίνει ως φραγμένη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωmega Man · #3

Άλλος τρόπος αθροίζοντας τις παρακάτω ισότητες,

$\displaystyle\color{red}\left\{\begin{array}{ccc} \cancel{a_{2}}-a_{1} &=&-\frac{1}{2}a_{1}^{2}\\\cancel{a_{3}}-\cancel{a_{2}}&=&-\frac{1}{2}a_{2}^{3}\\\cancel{a_{4}}-\cancel{a_{3}}&=&-\frac{1}{2}a_{3}^{4}\\ \vdots &\vdots &\vdots\\a_{n+1}-\cancel{a_{n}}&=&-\frac{1}{2}a_{n}^{n+1}\end{array}\right\}$ $\longrightarrow$ $\displaystyle a_{n+1}-a_{1}=-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{k+1}\right)\;\;\dagger$
μιας και όλοι οι όροι της ακολουθίας $a_{n}$ είναι μικρότεροι από $\displaystyle\frac{1}{2}$ , η σειρά $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{k+1}$ συγκίνει (γεωμετρική σειρά). Πηγαίνοντας λοιπόν πίσω στην σχέση $\dagger$ και αφήνοντας το $n\to \infty$ ,

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_{n+1}=-\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{k+1}\right)+\lim_{n\to+\infty}a_{1}=-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{k+1}\right)+a_{1}<$ $+\infty$

απ´όπου συμπεραίνουμε ότι η $a_{n}$ συγκλίνει.

Αναδρομικός τύπος....

Αναδρομικός τύπος....

Re: Αναδρομικός τύπος....

Re: Αναδρομικός τύπος....

Μέλη σε σύνδεση