f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

#1

Αν για την φραγμένη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ και γιά κάθε x,y

στό $\mathbb{R}$ , ισχύει f({x+y})=f({x})+f({y})

, τότε, πάντοτε, ισχύει και $f\bigl({\sum_{\nu=1}^{+\infty}{x_{\nu}}}\bigr)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{+\infty}{f({x_{\nu}})}$ , για κάθε $x_{i}\in\mathbb{R}\,, \ i=1,2,\ldots$ ;

[edit:13/1/12 10:31] Το ίδιο ερώτημα με την

να μην είναι φραγμένη;

#2

Για φραγμένη: Είναι απλό να δούμε επαγωγικά ότι $f(nx) = nf(x), \, \, \forall x, \, \forall n \in \mathbb N$ . Άρα $|f(x)| \le \frac{1}{n} |f(nx)| \le \frac{M}{n}$ , όπου

φράγμα της

. Έπεται ότι $f(x)=0, \forall x$ , δηλαδή η

είναι η μηδενική συνάρτηση, οπότε το αποδεικτέο είναι άμεσο.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

grigkost έγραψε:<...>
[edit:13/1/12 10:31] Το ίδιο ερώτημα με την να μην είναι φραγμένη;

Δεν ισχύει.

Είναι γνωστό ότι υπάρχουν ασυνεχείς

που ικανοποιούν την Cauchy. Για μία τέτοια ασυνεχή, έστω (a_n)

ακολουθία με
$\lim a_n = a$ αλλά $\lim f(a_n) \ne f(a)$ . Ορίζουμε $x_n = a_n - a_ {n-1}$ (εδώ a_0=0

). Τότε $\displaystyle{ \sum _1^{\infty} f(x_n)= \lim \sum _1^Nf(x_n) = \lim \sum _1^N(f(a_n)-f(a_{n-1})) = \lim f(a_N) \ne f(a) = f(\sum _1^{\infty} x_n) }$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

Re: f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

Re: f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

Μέλη σε σύνδεση