Βοήθεια με διπλό ολοκλήρωμα

m1chael · #1

Γεια σας, θα ήθελα την βοήθεια σας με την παρακάτω άσκηση...
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\iint_W {ydxdy}}$ , όπου το χωρίο $\displaystyle{W}$ , φράσσεται από τις $\displaystyle{x = - {y^4}}$ , $\displaystyle{x = \cos (\pi y/2)}$
και τις ευθείες $\displaystyle{y = \pm 1}$ .

#2

Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος δεν παρουσιάζει δυσκολία. Μάλιστα το χωρίο

είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x'x

όπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφημα

: iint_W_dxdy.png (38.24 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

και το ολοκλήρωμα θα πρέπει να ισούται με

, όπως, άλλωστε, προκύπτει παρακάτω.

$\displaystyle{\iint_W {y\,dx\,dy}}=\int_{-1}^{1}{y\,\int_{-y^4}^{\cos\frac{\pi\,y}{2}}{dx\,dy}}=\int_{-1}^{1}{y\,\Bigl({-y^4-\cos\tfrac{\pi\,y}{2}}\Bigr)\,dy}=\int_{-1}^{1}{-y^5-y\,\cos\tfrac{\pi\,y}{2}\,dy}=$

$\displaystyle\Bigl[{-\frac{y^6}{6}-\frac{4}{\pi^2}\,\cos\tfrac{\pi\,y}{2}-\frac{2y}{\pi}\,\sin\tfrac{\pi\,y}{2}}\Bigr]_{-1}^{1}=0\,.\quad\square$

m1chael · #3

Όντως ήταν πολύ απλό... Ευχαριστώ!

Βοήθεια με διπλό ολοκλήρωμα

Βοήθεια με διπλό ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια με διπλό ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια με διπλό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση