Ολοκλήρωμα

#2

socrates έγραψε: $\displaystyle{ \int^\pi_{0} \int^\pi_{x} \frac{\sin y}{y}\,dy\,dx }$

Αφού το πεδίο ολοκλήρωσης είναι

$\{(x,y): 0\leq x\leq \pi, x\leq y\leq \pi\}=\{(x,y): 0\leq x\leq y, 0\leq y\leq \pi\}$ ,

από το θεώρημα Fubini έπεται

$\displaystyle{\int^\pi_{0} \int^\pi_{x} \frac{\sin y}{y}\,dy\,dx= \int^\pi_{0} \int^y_0 \frac{\sin y}{y}\,dx\,dy=\int^{\pi}_0 \sin y\,dy=2}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

dennys · #3

Eγω το είδα πιό σχολικά

$-\int_0^{\pi}(x){'}\int_{\pi}^{x}(\cfrac{sinu}{u}du)dx=-[x\int_{\pi}^{x}(\cfrac{sinu}{u}du]_{0}^{\pi}+\int_0^{\pi}x(\frac{six}{x})dx=$

$\int_0^{\pi}sinxdx=[-cosx]_0^{\pi}=-cos(\pi)+cos0=1+1=2$

φιλικά

dennys

lowbaper92 · #4

Αλλάζοντας το διαφορικό από $\displaystyle{ dydx}$ σε $\displaystyle{ dxdy}$ , έχουμε:

$\displaystyle{ I=\int_{0}^{\pi }{\left(\int_{0}^{y}{\frac{siny}{y}}dx \right)}dy=\int_{0}^{\pi }{\frac{siny}{y}}\left(\int_{0}^{y}{dx} \right)dy=\int_{0}^{\pi }{\frac{siny}{y}}y\, dy=\int_{0}^{\pi }{siny}\, dy=2 }$

edit Τώρα πρόσεξα ότι η ίδια λύση έχει δοθεί παραπάνω. Δεν είχα υπόψιν μου το συγκεκριμένο θεώρημα, οπότε δεν διάβασα τη λύση πριν ποστάρω τη δικιά μου.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση