Από mathlinks (του Μπόρη!)

#1

Αν μου επιτρέπεις φίλε Ροδόλφε, γιατί μου φάνηκε όμορφο..

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x+1}\,dx$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν μου επιτρέπεις φίλε Ροδόλφε, γιατί μου φάνηκε όμορφο..

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x+1}\,dx$ .

Αυτό είναι ένα ωραίο στάνταρ ολοκλήρωμα. Οφείλεται στον Euler που βρήκε άλλα τρία τέσσερα "αδελφά" ολοκληρώματα, τότε που μελέταγε την σειρά $\sum_{1}^{\infty}{ \frac {1}{n^2}} = \frac{\pi^2}{6}$ και τα πορίσματά του όπως $1- \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac {1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{12}$ .

Για να βρούμε το ολοκλήρωμα γράφουμε

$\int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}dx = \int_0^1 (1 - x + x^2 - ...)\ln x dx$ και ολοκληρώνουμε όρο προς όρο, με χρήση του $\int_0^1 x^n\ln x dx = -\frac{1}{(n+1)^2}$ . Θα βγει το παραπάνω άθροισμα.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Αναστάση,

Κοιτάω τόσην ώρα τη φωτογραφία σου και λέω "τι άλλαξε πάνω σου, τι άλλαξε" από τότε που σε είδα τελευταία φορά.
Το βρήκα!
Κουρεύτηκες!

Ωmega Man · #3

Ας δούμε σαν συμπλήρωμα και γιατί
$\sum_{n=1}^{+\infty}\;\frac{1}{n^2}\;=\;\frac{\pi^2}{6}$ .
Έχουμε ,
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\;\frac{1}{n^2}\;=-\frac{1}{2}\;Res\left(\frac{\pi\cdot cot(\pi z)}{z^2};z=0}\right)=\frac{\pi^2}{6}$ .

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αναστάση,
Κοιτάω τόσην ώρα τη φωτογραφία σου και λέω "τι άλλαξε πάνω σου, τι άλλαξε" από τότε που σε είδα τελευταία φορά.
Το βρήκα!
Κουρεύτηκες!

Ναιαιαιαιαιαιαι!!!!!!!!!!

Να είσαι καλά Δάσκαλε!!!

Από mathlinks (του Μπόρη!)

Από mathlinks (του Μπόρη!)

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

Μέλη σε σύνδεση