Ερώτηση για Δυναμοσειρά

dijkstra · #1

Παιδιά γεια σας, είδα σε κάτι θέματα μιγαδικής ανάλυσης να ζητείται η ακτίνα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς της μορφής $S = \sum{a_{n}({z - z_{0}})^{2n}}$
Δηλαδή ο συντελεστής $a_{n}$ που δεν θυμάμαι ποιος ακριβώς ήταν αλλά είχε να κάνει με παραγοντικό είναι συναρτήσει του n ενώ ο εκθέτης της δυναμοσειράς είναι εις την 2n. Επειδή ο συντελεστής έχει το παραγοντικό μέσα προφανώς θέλει να πάρεις το πηλίκο των 2 διαδοχικών όρων. Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι η δυναμοσειρά προσθέτει μόνο αυτά με εκθέτη 2n.
Μια σκέψη που έκανα, είναι να πάρω την κανονική σειρά και να εφαρμόσω την κλασική μεθοδολογία και μετά να τη σπάσω δε ύπο-σειρές μήπως και ισχύει κάτι αντίστοιχο με τις ακολουθίες και τις υπακολουθίες.
τεςπα, δεν έχω διαβάσει το μάθημα το οποίο είναι επόμενου έτους, είμαι στο 2ο έτος, απλά το είδα και δεν μου φεύγει από το μυαλό με τίποτα.
Αν έχετε καμιά ιδέα μπορείτε να βοηθήσετε.

#2

Γειά σας
Αγαπητέ φίλε (ή φίλη;) dijkstra

. Η δυναμοσειρά σου σε κανονική μορφή, και μάλλον αυτό είναι που μπερδεύε,ι είναι η
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }\beta _{n} \,\,\,\,\ (*)$
όπου
$\beta _n = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 0 & {n = 2k + 1} \\ {\alpha _{\frac{n} {2}} } & {n = 2k} \\ \end{array} } \right. .$
Εργαζόμενοι τώρα με την δυναμοσειρά (*)

επειδή έχουμε και όρους που είναι μηδέν είναι προτιμότερο να εργασθούμε με το κριτήριο της ρίζας και να υπολογίσουμε το
$\lim \sup \root{n}\of{\left| \beta _{n}\right| }$
δηλαδή το μεγαλύτερο από τα οριακά σημεία της $\root{n}\of{\left| \beta _{n}\right| }$ (το μικρότερο είναι "από χέρι" το 0). Αν το βρούμε η ακτίνα σύγκλισης θα είναι το αντίστροφο του.
Περισσότερα δεν μπορώ να πω διότι από κει και πέρα χρειάζεται να ξέρουμε ποιά είναι η $\alpha _{n}$ .
Μαυρογιάννης

#3

Παραθέτω διορθωμένη τήν ιδέα πού είχα γιά τήν αντιμετώπιση τού προβλήματος, μόνο καί μόνο, γιατί τό "χρωστάω" σέ αυτούς πού παρακολούθησαν τό θέμα. Η υπόδειξη τού Ν. Μαυρογιάννη καί η περεταίρω ανάπτυξή της από τόν Δημήτρη, δίνουν μιά "φυσική" απόδειξη τού προβλήματος.

Θεώρημα 1: Άν $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=0}^{\infty}{a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu}}$ μία δυναμοσειρά ακτίνα σύγκλισης

, τότε ισχύει:
$\displaystyle\left({\mathop{\sum}\limits_{\nu=0}^{\infty}{a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu}}}\right)^{\prime}=\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{2\nu\,a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu-1}}$ .

Θεώρημα 2: Άν $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=0}^{\infty}{a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu}}$ μία δυναμοσειρά μέ ακτίνα σύγκλισης

, τότε καί η δυναμοσειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{2\nu\,a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu-1}}$ έχει τήν ίδια ακτίνα σύγκλισης

.

Επομένως οί δυναμοσειρές $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=0}^{\infty}{a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu}}$ , $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{2\nu\,a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu-1}}$ , ..., $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=k}^{\infty}{2\nu\,(2\nu-1)\dots(\nu-k+1)\,a_{\nu}\,(z-z_0)^{2\nu-k}}$ , $k<\nu$ , έχουν τήν ίδια ακτίνα σύγκλισης

.

Αρκεί νά δείξουμε ότι

$\mathop{\limsup}\limits_{\nu\to \infty}\sqrt[2\nu-k]{(2\nu)\dots (2\nu- k + 1)|a_{\nu}|}= \limsup \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|^{1/2}}$ .

Αλλά αυτό δέν είναι καθόλου ευκολότερο από αυτό πού αποδεικνύει ο Δημήτρης στό επόμενο μήνυμα.

dijkstra · #4

nsmavrogiannis έγραψε:Γειά σας
Αγαπητέ φίλε (ή φίλη;) dijkstra.

φίλος (ο dijkstra)

Καταρχήν ευχαριστώ πολύ για τις γρήγορες απαντήσεις όλους.
δηλαδή η ακτίνα σύγκλισης των δυναμοσειρών των παρακάτω
$(z-z_{0})^{2n}$ και $(z-z_{0})^{n}$

δεν είναι η ίδια και μπαίνει μέσα στη ρίζα το $\frac{1}{2}$

@nsmavrogiannis
στην απάντησή σου γράφεις
$\beta _n = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 0 & {n = 2k + 1} \\ {\alpha _{\frac{k} {2}} } & {n = 2k} \\ \end{array} } \right.$

δεν είναι κανονικά
αντί για $\alpha_{\frac{k} {2}}$ $\alpha_{\frac{n} {2}}$ ;
χμμμ μόλις ανακάλυψα τον EqEditor και έγραφα τόση ώρα σε Latex

#5

Να βάλω λίγο πιο αναλυτικά την απόδειξη ότι η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^{2n}$ είναι $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|^{1/2}}}$ για να φανεί καλύτερα γιατί εμφανίζεται η ρίζα του 2.

Παίρνω ως γνωστό το θεώρημα που λέει ότι η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n$ είναι $\displaystyle \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}$ .

Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα στην δυναμοσειρά $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^{2n}$ παίρνουμε $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|b_n|}}$ , όπου b_n=0

αν ο n είναι περιττός και $b_n=a_{n/2}$ αν ο n είναι άρτιος. Ισχυρίζομαι ότι $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|^{1/2}}}$ και προφανώς αρκεί να δείξω ότι $\limsup \sqrt[n]{|a_n|^{1/2}} = \limsup \sqrt[n]{|b_n|}$ .

Για n περιττό έχουμε $\sqrt[n]{|b_n|} = 0$ και για n=2m άρτιο έχουμε $\sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[2m]{|a_m|} = \sqrt[m]{|a_m|^{1/2}}$ . Επειδή μας ενδιαφέρει το limsup, παίρνουμε $\limsup \sqrt[n]{|b_n|} = \limsup \sqrt[m]{|a_m|^{1/2}}$ , αυτό ακριβώς που θέλαμε να δείξουμε.

dijkstra · #6

οκ το έπιασα τώρα με την πιο αναλυτική απόδειξη,

και πάλι ευχαριστώ πολύ

Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Re: Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Re: Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Re: Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Re: Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Re: Ερώτηση για Δυναμοσειρά

Μέλη σε σύνδεση