ακολουθία

giorgos2 · #1

πώς αποδεικνύουμε το παρακάτω?
Μια ακολουθία (x_n)

με

ανήκει στους φυσικούς είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει

ανήκει στους φυσικούς έτσι ώστε για n>m

εχουμε $|x_n-x_m|<\varepsilon$ ???

batmsup1 · #2

Η πρόταση που γράφεις είναι ο ορισμός της βασικής ακολουθίας. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι και βασική (λέγεται και ακολουθία Cauchy) και αντίστροφα, κάθε βασική συγκλίνει. Η απόδειξη βρίσκεται σε ολα τα βιβλία, αν δε τη βρεις να σε καθοδηγήσω.
Προσοχή γιατι στο πλαίσιο της πραγματικής ανάλυσης, το συμπέρασμα αυτό ισχύει μόνο για πλήρεις μετρικούς χώρους, με κλασσικό παράδειγμα το σύνολο των πραγματικών. Σε εισαγωγικά μαθήματα απειροστικού βέβαια μιλάμε για ακολουθίες πραγματικών.

sokratis lyras · #3

giorgos2 έγραψε:πώς αποδεικνύουμε το παρακάτω?
Μια ακολουθία με ανήκει στους φυσικούς είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει ανήκει στους φυσικούς έτσι ώστε για εχουμε $|x_n-x_m|<\varepsilon$ ???

Ο παραπάνω χαρακτηρισμός είναι λάθος.Η σχέση θες να ισχύει για κάθε $m,n\ge k$ για κάποιο $k\in N$

dpa2007 · #4

sokratis lyras έγραψε:
giorgos2 έγραψε:πώς αποδεικνύουμε το παρακάτω?
Μια ακολουθία με ανήκει στους φυσικούς είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει ανήκει στους φυσικούς έτσι ώστε για εχουμε $|x_n-x_m|<\varepsilon$ ???
Ο παραπάνω χαρακτηρισμός είναι λάθος.Η σχέση θες να ισχύει για κάθε $m,n\ge k$ για κάποιο $k\in N$

Μια απόδειξη μπορείς να βρεις στα παλαιά βιβλία των Δεσμών
http://blogs.sch.gr/pavtryfon/2014/05/0 ... %B4%CF%8E/
Βιβλίο Αναλυσης(Κεφ 2ο)
http://www.slideshare.net/trifonpavlos/i-analisi
Σελ 20 στο slideshare,40 στο βιβλίο.

slash · #5

Δεν νομίζω ότι ήθελε να γράψει τη συνθήκη Cauchy και επίσης δεν βλέπω γιατί ο ισχυρισμός αυτός είναι λάθος.
Αν η ακολουθία είναι συγκλίνουσα τότε είναι Cauchy και άρα για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει

ώστε για $k,n\geq m$
$|x_{k}-x_{n}|\leq \epsilon$ . Άρα συγκεκριμένα για k=m

και

παίρνουμε το ζητούμενο.
Αντίστροφα αν η ακολουθία ικανοποιεί τη δοθείσα συνθήκη , τότε για κάθε $\epsilon > 0$ υπάρχει

ώστε για

$|x_{k}-x_{n}|< \epsilon /2$ . Άρα για $k,n \geq m$ $|x_{k}-x_{n}|\leq |x_{k}-x_{m}|+|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$

sokratis lyras · #6

slash έγραψε:Δεν νομίζω ότι ήθελε να γράψει τη συνθήκη Cauchy και επίσης δεν βλέπω γιατί ο ισχυρισμός αυτός είναι λάθος.
Αν η ακολουθία είναι συγκλίνουσα τότε είναι Cauchy και άρα για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει ώστε για $k,n\geq m$
$|x_{k}-x_{n}|\leq \epsilon$ . Άρα συγκεκριμένα για και παίρνουμε το ζητούμενο.
Αντίστροφα αν η ακολουθία ικανοποιεί τη δοθείσα συνθήκη , τότε για κάθε $\epsilon > 0$ υπάρχει ώστε για
$|x_{k}-x_{n}|< \epsilon /2$ . Άρα για $k,n \geq m$ $|x_{k}-x_{n}|\leq |x_{k}-x_{m}|+|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$

Σωστά,νόμιζα ότι ήθελε να γράψει τη συνθήκη cauchy.

ακολουθία

ακολουθία

Re: ακολουθία

Re: ακολουθία

Re: ακολουθία

Re: ακολουθία

Re: ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση