Ρητός ή άρρητος;

#1

Έστω $r_{1},r_{2},...$ μία αρίθμηση των ρητών του διαστήματος (0,1). Αν η απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση του $r_{j}$ είναι $0,a_{j1}a_{j2}a_{j3}...$ ,τότε ο αριθμός $0,a_{11}a_{22}a_{33}...$ είναι ρητός ή άρρητος;

#2

s.kap έγραψε:Έστω $r_{1},r_{2},...$ μία αρίθμηση των ρητών του διαστήματος (0,1). Αν η απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση του $r_{j}$ είναι $0,a_{j1}a_{j2}a_{j3}...$ ,τότε ο αριθμός $0,a_{11}a_{22}a_{33}...$ είναι ρητός ή άρρητος;

To λεγόμενο διαγώνιο επιχείρημα του Cantor (που δείχνει την αριθμησιμότητα του Q) , μας εξασφαλίζει ότι ο παραπάνω αριθμός δεν είναι ρητός. Δηλαδή είναι άρρητος.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μιχάλη, νομίζω διαφορετικό πράγμα ρωτάει ο Σπύρος.

Η απάντηση είναι ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε. Σε κάποιες περιπτώσεις είναι ρητός και σε κάποιες περιπτώσεις άρρητος.

#4

Demetres έγραψε: Η απάντηση είναι ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε. Σε κάποιες περιπτώσεις είναι ρητός και σε κάποιες περιπτώσεις άρρητος.

Λάθος. Απίστευτο, αλλά ο αριθμός πρέπει να είναι άρρητος! :-o

Ας υποθέσουμε πως ήταν ρητός. Έστω $0.a_1 \cdots a_k \overline{b_1 \cdots b_{\ell}}$ . Τότε ο αριθμός $0.c_1 \cdots c_k \overline{d_1 \cdots d_{\ell}}$ όπου $c_i = \begin{cases} 1 & \alpha \nu \; a_i \neq 1 \\ 2 & \; \alpha \nu \; a_i = 1\end{cases}$ και $d_i = \begin{cases} 1 & \alpha \nu \; b_i \neq 1 \\ 2 & \; \alpha \nu \; b_i = 1\end{cases}$

είναι ρητός αλλά δεν μπορεί να βρίσκεται στην αρχική αρίθμηση των ρητών. Άτοπο.

Σπύρο πανέμορφο πρόβλημα.

#5

Δημήτρη, πρίν από λίγο μπήκα στο Φόρουμ, είδα τη λύση σου και ενθουσιάστηκα!!!!

Ρητός ή άρρητος;

Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Μέλη σε σύνδεση