Τριγωνομετρία-ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

που δεν είναι περιττός ακέραιος.

Να δειχθεί ότι υπάρχουν σταθερές a,b

που εξαρτώνται από το p> 0

ώστε για $\left | x \right |\leq \frac{1}{2}\pi$

να έχουμε $\left | \sin x \right |^{p}\leq a\cos px+b\cos ^{p}x$

Είναι η πρόγονος αυτής
viewtopic.php?f=9&t=55530

dement · #2

Περιοριζόμαστε στο $\displaystyle \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$ (για $x \to -x$ δεν αλλάζει τίποτα).

Θέτουμε $\displaystyle a = 2 \sec \left( \frac{p \pi}{2} \right)$ (υποβάλλοντας τις ευχαριστίες μας στον περιορισμό του

).
Λόγω συνέχειας, μόνο με τον όρο $a \cos px$ θα ισχύει η ανισότητα σε κάποιο διάστημα $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{2} - \delta, \frac{\pi}{2} \right]$ με $0 < \delta < \pi/2$ .

Έστω $y_{min} = \min \{ a \cos px - | \sin x| ^p : x \in [0, \pi/2] \}$ (συνεχής). Αν $y_{min} \geq 0$ θέτουμε b = 0

. Αλλιώς θέτουμε $b = - y_{min} \csc^p \delta$ .

Ο όρος $b \cos^p x$ τακτοποιεί την ανισότητα στο $\displaystyle \left[ 0, \frac{\pi}{2} - \delta \right]$ ενώ, όντας μη αρνητικός, δεν μεταβάλλει την ήδη ισχύουσα στο $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{2} - \delta, \frac{\pi}{2} \right]$ .

Τριγωνομετρία-ανισότητα

Τριγωνομετρία-ανισότητα

Re: Τριγωνομετρία-ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση