Μηδενική συνάρτηση

mathxl · #1

Ίσως έχω ξαναβάλει το θέμα, i dont remember...
Έστω η συνάρτηση $f:\left[ {0, + \infty } \right) \to \left[ {0, + \infty } \right)$ , η οποία είναι αύξουσα και έχει την ιδιότητα $\displaysyle \ f\left( x \right) \ge \int\limits_0^x {f\left( {{e^t}} \right)dt} ,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right)$
. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right)$

dement · #2

Για να δουμε...

Εχουμε $f(x) \geq \displaystyle \int_0^x f(e^t) dt \geq \int_{x/2}^x f(e^t) dt \geq f(e^{x/2}) \frac{x}{2} \geq f(e^{x/2})$ για $x \geq 2$ . Αφου ομως, για αρκετα μεγαλα

, εχουμε $e^{x/2} > x$ σημαινει οτι σε καποιο διαστημα $(x_0, + \infty)$ η

ειναι σταθερη.

Αφου, επισης, $\displaystyle f(x) \geq f(e^{x/2}) \frac{x}{2}$ , σημαινει οτι η σταθερη τιμη ειναι

.

Και αφου η

παιρνει μη αρνητικες τιμες και ειναι αυξουσα, σημαινει οτι ειναι η μηδενικη συναρτηση.

Δημητρης Σκουτερης

mathxl · #3

Δημήτρη, μου πήρε γύρω στα δέκα λεπτά για να καταλάβω την λύση σου (σόρι αλλά τώρα είχα τον χρόνο, την διάθεση και το καθαρό μυαλό για να την μελετήσω).
Δίνω την λύση που είδα (κατά σύμπτωση μου πήρε και αυτή κοντά στα δέκα λεπτά να την καταλάβω...). μου άρεσε πιο πολύ του Μήτσου.
$\begin{array}{l} f\left( x \right) \ge \int\limits_0^x {f\left( {{e^t}} \right)dt} = \int\limits_0^{\ln x} {f\left( {{e^t}} \right)dt} + \int\limits_{\ln x}^x {f\left( {{e^t}} \right)dt} \ge \int\limits_0^{\ln x} {f\left( {{e^t}} \right)dt} + \int\limits_{\ln x}^x {f\left( {{e^t}} \right)dt} \ge \int\limits_0^{\ln x} {f\left( {{e^t}} \right)dt} + \int\limits_{\ln x}^x {f\left( x \right)dt} \Rightarrow \\ f\left( x \right) \ge \int\limits_0^{\ln x} {f\left( {{e^t}} \right)dt} + \left( {x - \ln x} \right)f\left( x \right) \Leftrightarrow \\ \left( {1 - x + \ln x} \right)f\left( x \right) \ge \int\limits_0^{\ln x} {f\left( {{e^t}} \right)dt} \\ \end{array}$
Για χ > 1 το δεύτερο μέλος είναι μη αρνητικό άρα
$\left( {1 - x + \ln x} \right)f\left( x \right) \ge 0 \Rightarrow f\left( x \right) \le 0$
Εδώ διαφοροποίησα λίγο την απόδειξη που είδα (δεν διώχνει την παρένθεση αλλά υποθέτει ότι υπάρχει κάποιο c>1 τέτοιο ώστε f(c) >0 κα καταλήγει σε άτοπο... με την βοήθεια της παρένθεσης)
Άρα η f είναι η μηδενική στο (1,+οο) και από την μονοτονία μαζί με το γεγονός ότι είναι μη αρνητική, βγαίνει 0 στο σύνολο ορισμού της

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση