Ψευδό - άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta$ θετικοί άρρητοι αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}=1}$ . Να υπολογιστεί το άθροισμα:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\lfloor n\alpha\rfloor^2}+\frac{1}{\lfloor n\beta\rfloor^2}\right)}$ Στη συνέχεια να δώσετε μία ερμηνεία του τίτλου της ανάρτησης.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $\alpha, \beta$ θετικοί άρρητοι αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}=1}$ . Να υπολογιστεί το άθροισμα:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\lfloor n\alpha\rfloor^2}+\frac{1}{\lfloor n\beta\rfloor^2}\right)}$ Στη συνέχεια να δώσετε μία ερμηνεία του τίτλου της ανάρτησης.

Είναι γνωστό το Θεώρημα του Beatty (και θέμα στον 20ο Putnam (1959) ) ότι οι ακολουθίες

$\lfloor \alpha\rfloor ,\lfloor 2\alpha\rfloor ,\lfloor 3\alpha\rfloor ,\ldots, \lfloor n\alpha\rfloor ,\ldots$ και $\lfloor \beta\rfloor ,\lfloor 2\beta\rfloor ,\lfloor 3\beta\rfloor ,\ldots, \lfloor n\beta\rfloor ,\ldots$

μαζί περιέχουν κάθε θετικό ακέραιο ακριβώς μια φορά.

Συνεπώς, το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ψευδό - άθροισμα

Ψευδό - άθροισμα

Re: Ψευδό - άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση