Γενικευμένο ολοκλήρωμα

ttheodoros · #1

Για ποιες τιμές των $\alpha$ και $\beta$ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{\alpha} (1-x)^{\beta} \log{(x)} dx}$ συγκλίνει;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Το ολοκλήρωμα έχει πρόβλημα στα 0,1

Στο

επειδή $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{lnx}{x-1}=1$

πρέπει $\beta +1> -1$ δηλαδή $\beta > -2$ .

Στο

επειδή $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\epsilon }lnx=0,\epsilon > 0$

πρέπει $\alpha > -1$

Tolaso J Kos · #3

ttheodoros έγραψε:Για ποιες τιμές των $\alpha$ και $\beta$ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{\alpha} (1-x)^{\beta} \log{(x)} dx}$ συγκλίνει;

Και φυσικά έχουμε και κλειστό τύπο για το ολοκλήρωμα. Αν δηλώσουμε με $\mathcal{H}_x$ τον γενικευμένο αρμονικό όρο τότε
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^\alpha \left ( 1-x \right )^\beta \log x \, {\rm d}x &= \frac{\partial }{\partial \alpha} {\rm B} \left ( \alpha+1 , \beta +1 \right ) \\ &= {\rm B}\left ( \alpha +1 , \beta +1 \right ) \bigg( \mathcal{H}_\alpha - \mathcal{H}_{\alpha+\beta+1} \bigg) \\ &=\frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(\beta+1)}{\Gamma\left ( \alpha+\beta +2 \right )} \bigg( \psi^{(0)} \left ( \alpha+1 \right ) - \psi^{(0)} \left ( \alpha+\beta+2 \right ) \bigg) \end{aligned}}$ με $\alpha>-1$ και $\beta>-2$ .

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Και φυσικά έχουμε και κλειστό τύπο για το ολοκλήρωμα.

Πιο κλειστός κι από τα σούπερμάρκετς την Κυριακή το απόγευμα.

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Και φυσικά έχουμε και κλειστό τύπο για το ολοκλήρωμα.
Πιο κλειστός κι από τα σούπερμάρκετς την Κυριακή το απόγευμα.

Αναστάση, χαιρετίσματα.

Στο παραπάνω έχεις απόλυτο δίκιο. Ο Τόλης έχει γράψε άπειρες φορές την φράση
"κλειστός τύπος" για κάτι που απέχει χιλιόμετρα από το να είναι κλειστός τύπος. Όλο έλεγα
να του το πω, και όλο ξέχναγα.

Μ.

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση