Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

#1

Από κίτρινη βίβλο :

1) Ας δειχθεί ότι αν μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ έχει τοπικό μέγιστο σε κάθε $x\in\mathbb{R}$ , τότε το σύνολο $f(\mathbb{R})$ είναι αριθμήσιμο.

2) Ας δοθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης

η οποία δεν είναι φραγμένη ή μονότονη σε κανένα διάστημα της μοφής $(-\varepsilon,\varepsilon)$ , όπου $\varepsilon>0$ .

Καραδήμας · #2

1. Για σταθερό $\delta >0$ βάλε $A_{\delta }=\{ x\in {\mathbb R}:\forall y\in (x-\delta ,x+\delta ), \;f(y)\leq f(x)\}$ . Τότε ${\mathbb R}=\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{1/n}$ . Τώρα, αν $x\in A_{\delta }$ δείχνεις ότι η

είναι σταθερή στο $(x-\delta ,x+\delta )\cap A_{\delta }$ γιατί αν $|y-x|<\delta$ και $y\in A_{\delta }$ πρέπει να έχεις και $f(x)\leq f(y)$ . Τώρα καλύπτεις το $A_{\delta }$ με τα $(x-\delta ,x+\delta )$ , $x\in A_{\delta }$ και μπορείς να βρεις αριθμήσιμη υποκάλυψη. Έχεις $A_{\delta }=\bigcup_{m=1}^{\infty }(x_m-\delta ,x_m+\delta )\cap A_{\delta }$ και σε καθένα από αυτά τα $(x_m-\delta ,x_m+\delta )\cap A_{\delta }$ η

είναι σταθερή.

Έτσι η

παίρνει αριθμήσιμα πολλές τιμές στο $A_{1/n}$ (για κάθε

) και τελειώνεις από την ${\mathbb R}=\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{1/n}$ .

2. Να βάλουμε f(1/n)=n

και

παντού αλλού.

Ιστοσελίδα · #3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Από κίτρινη βίβλο :
...

Να φανταστώ ότι είναι : Απειροστικός Λογισμός Ι,ΙΙα,ΙΙβ ;

#4

polysot έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Από κίτρινη βίβλο :
...

Να φανταστώ ότι είναι : Απειροστικός Λογισμός Ι,ΙΙα,ΙΙβ ;

ΙΙα σελ 27 Ασκ 18-37

Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

Re: Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

Re: Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

Re: Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

Μέλη σε σύνδεση