άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

INKIS · #1

Εστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
συνεχής,φραγμένη και μονότονη συνάρτηση ν.δ.ο η

είναι ομοιόμορφα συνεχής

καλησπέρα,καλώς σας βρήκα

#2

καλώς όρισες στο mathematica.gr

Ελπίζω τα παρακάτω να είναι ένα πρώτο βήμα. (Αν βρω χρόνο θα επιστρέψω με πλήρη λύση)

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ είναι αύξουσα. Επειδή είναι φραγμένη, ισχύει $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}{f(x)}=\ell_1\in\mathbb{R}$ . Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι $\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}{f(x)}=\ell_2\in\mathbb{R}$ .

#3

grigkost έγραψε:Αν βρω χρόνο θα επιστρέψω με πλήρη λύση..

Συνεχίζουμε, δίνοντας μια πλήρη λύση:

Θα δείξουμε ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής σε διάστημα της μορφής $({r_1,+\infty})$ . Πράγματι επειδή $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow +\infty }{f(x)}=\ell_1\in\mathbb{R}$ , έπεται ότι

$\bigl({\forall\,\frac{\varepsilon}{2}>0}\bigr)\,({\exists\,r_1>0})\,\bigl({\forall\,x,y\in\mathbb{R}}\bigr)$ αν x>r_1

και

, τότε

$\begin{aligned} \left\{{\begin{array}{c} |{f({x})-\ell_1}|<\frac{\varepsilon}{2}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} |{f({y})-\ell_1}|<\frac{\varepsilon}{2} \end{array}}\right\} &\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} |{f({x})-f({y})}|&=|{f({x})-\ell_1-({f({y})-\ell_1})}|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\leqslant|{f({x})-\ell_1}|+|{f({y})-\ell_1}|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}$

Επομένως για το παραπάνω $\varepsilon$ και για $\delta>0$ αν για κάθε $x,y\in({r_1,+\infty})$ , ισχύει $|{x-y}|<\delta$ , τότε $|{f({x})-f({y})}|<\varepsilon$ .
Δηλαδή η

είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $({r_1,+\infty})$ .
Ανάλογα αποδεικνύεται ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής σε διάστημα της μορφής $({-\infty,\,r_2})$ .
Αν $r_1\leqslant r_2$ , αποδείχθηκε το ζητούμενο. Αν r_1> r_2

, τότε επειδή η

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [r_1,r_2]

, είναι και ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό. Τελικά, η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Υ.Γ. Δεν το θεωρώ καθόλου απίθανο η συγκεκριμένη άσκηση να έχει ήδη συζητηθεί.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

INKIS έγραψε:Εστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
συνεχής,φραγμένη και μονότονη συνάρτηση ν.δ.ο η είναι ομοιόμορφα συνεχής

καλησπέρα,καλώς σας βρήκα

Θεωρώ δεδομένο ότι μια μονότονη και φραγμένη συνάρτηση έχει όριο πραγματικό αριθμό στα $+_{-}\infty$

Δηλαδή $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=a,\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=b$

Η τεχνική που θα αναπτύξω παρακάτω είναι πολύ χρήσιμη και για αλλά προβλήματα.

Θεωρώ την $g:(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=f(\tan x)$

εύκολα βλέπουμε ότι $\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{2}^{+}}g(x)=a,\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}g(x)=b$

Ετσι η $g:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής.

Αφου είναι σε κλειστό διάστημα συνεχής είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Εστω $\varepsilon > 0$

Υπάρχει $\delta > 0$ ώστε $t_{1},t_{2}\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}) \left | t_{1}-t_{2} \right |< \delta \Rightarrow \left | g(t_{1})-g(t_{2}) \right |< \varepsilon$

Εστω $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R},\left | x_{1}-x_{2} \right |< \delta$

Υπάρχουν $t_{1},t_{2}\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\tan t_{1}=x_{1} and \tan t_{2}=x_{2}$

Απο ΘΜΤ $\left | \tan t_{1}-\tan t_{2} \right |=\dfrac{1}{(\cos \xi)^{2} }\left | t_{1}-t_{2} \right |\geq \left | t_{1}-t_{2} \right |$
Αρα $\delta > \left | x_{1}-x_{2} \right |\geq \left | t_{1}-t_{2} \right |$

Τελικά $\varepsilon > \left | g(t_{1})-g(t_{2}) \right |=\left | f(x_{1})-f(x_{2}) \right |$
που αποδεικνύει το ζητούμενο.

άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

Re: άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

Re: άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

Re: άσκηση ομοιόμορφη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση