Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

S3i · #1

Θα ήθελα να μου επισημάνετε τυχόν λάθη στις παρακάτω ασκήσεις.
Ν.Δ.Ο αν $x\in \left ( 0,\pi /2 \right )$
$sin(x)\geq \frac{2x}{\pi }$ .
Θέτω $f(x)= sin(x)- \frac{2x}{\pi } ,f :\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \Re$
Παρατηρώ ότι $f(0)=f(\frac{\pi }{2})=0$
Αν υπήρχε ρίζα της f στο (0,π/2) τότε θα υπήρχαν 2 ρίζες στην f' λόγω Θ.Rolle.Τότε θα υπήρχε μια ρίζα της f'' στο (0,π/2) λόγω Θ.Rolle.Aτοπο,αφού $f''(x)=-sin(x) <0 \forall x \in (0,\frac{\pi }{2})$ .Άρα $f(x)\neq 0 \forall x\in(0,\pi /2)$ ,άρα η f διατηρεί πρόσημο. $f(\pi /4) > 0$
Έχουμε το ζητούμενο.

S3i · #2

Εστω $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ ,παραγωγισιμη με $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)= +\infty$ .
Ν.Δ.Ο αν $\alpha \in \mathbb{R}$ τότε $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\neq \alpha$ .
Έστω ότι $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)= \alpha$ για κάποιο α. Εστω ε=1>0,τότε υπάρχει δ>0 ώστε αν $x\in(b-\delta,\delta)$ τότε $f'(x)<\alpha+1$ .Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [b-δ,x] και έχω ότι f(χ)<f(b-δ)+(1+α)(χ-b-δ).Άτοπο από υπόθεση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

S3i έγραψε:Θα ήθελα να μου επισημάνετε τυχόν λάθη στις παρακάτω ασκήσεις.
Ν.Δ.Ο αν $x\in \left ( 0,\pi /2 \right )$
$sin(x)\geq \frac{2x}{\pi }$ .
Θέτω $f(x)= sin(x)- \frac{2x}{\pi } ,f :\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \Re$
Παρατηρώ ότι $f(0)=f(\frac{\pi }{2})=0$
Αν υπήρχε ρίζα της f στο (0,π/2) τότε θα υπήρχαν 2 ρίζες στην f' λόγω Θ.Rolle.Τότε θα υπήρχε μια ρίζα της f'' στο (0,π/2) λόγω Θ.Rolle.Aτοπο,αφού $f''(x)=-sin(x) <0 \forall x \in (0,\frac{\pi }{2})$ .Άρα $f(x)\neq 0 \forall x\in(0,\pi /2)$ ,άρα η f διατηρεί πρόσημο. $f(\pi /4) > 0$
Έχουμε το ζητούμενο.

Σωστός είσαι.
Το αποτέλεσμα είναι γνωστό και πολύ χρήσιμο.Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις.
Στην ουσία χρησιμοποίησες ότι η συνάρτηση είναι κοίλη όποτε παίρνει το ελάχιστο σε
κάποιο άκρο του διαστήματος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

S3i έγραψε:Εστω $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ ,παραγωγισιμη με $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)= +\infty$ .
Ν.Δ.Ο αν $\alpha \in \mathbb{R}$ τότε $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\neq \alpha$ .
Έστω ότι $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)= \alpha$ για κάποιο α. Εστω ε=1>0,τότε υπάρχει δ>0 ώστε αν $x\in(b-\delta,\delta)$ τότε $f'(x)<\alpha+1$ .Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [b-δ,x] και έχω ότι f(χ)<f(b-δ)+(1+α)(χ-b-δ).Άτοπο από υπόθεση.

Γράψε το σωστά.Ολα σε tex.Η ιδέα είναι σωστή.Η διατύπωση χρειάζεται βελτίωση.Χώρια που δεν φαίνεται καθαρά.

S3i · #5

Έστω $\epsilon = 1 > 0$
τότε $\exists \delta >0$
ώστε αν $x\in (b -\delta ,b)\Rightarrow \alpha -1<f'(x)<\alpha +1$
Θ.Μ.Τ στο $\left [ b-\delta ,x \right ]\Rightarrow \alpha -1<\frac{f(x)-f(b-\delta )}{x-b+\delta }<\alpha +1$
$f(x)<(1+\alpha)(x-b+\delta )+f(b-\delta )<(1+\alpha )(2\delta -b)+f(b-\delta )=M$
Από υπόθεση για το Μ έχω οτι $\exists \delta _1 > 0$
ωστε αν $x\in (b-\delta_1,b)\Rightarrow f(x)\geq M$
Άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

S3i έγραψε:Έστω $\epsilon = 1 > 0$
τότε $\exists \delta >0$
ώστε αν $x\in (b -\delta ,b)\Rightarrow \alpha -1<f'(x)<\alpha +1$
Θ.Μ.Τ στο $\left [ b-\delta ,x \right ]\Rightarrow \alpha -1<\frac{f(x)-f(b-\delta )}{x-b+\delta }<\alpha +1$
$f(x)<(1+\alpha)(x-b+\delta )+f(b-\delta )<(1+\alpha )(2\delta -b)+f(b-\delta )=M$
Από υπόθεση για το Μ έχω οτι $\exists \delta _1 > 0$
ωστε αν $x\in (b-\delta_1,b)\Rightarrow f(x)\geq M$
Άτοπο.

Σωστότατος και ωραία διατύπωση.

S3i · #7

Έστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής στο [a,b],παραγωγισιμη στο (a,b) με f(a)=f(b)

.
Ν.Δ.Ο $\exists x_1\neq x_2\in (a,b) \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)= 0$
Θ.Μ.Τ στα $\left [ a,\frac{a+b}{2} \right ] ,\left [ \frac{a+b}{2},b \right ]\Rightarrow \exists x_1,x_2 \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)=\frac{f(\frac{a+b}{2})-f(a)}{\frac{b-a}{2}}+\frac{f(b)-f(\frac{a+b}{2})}{\frac{b-a}{2}}=0$

S3i · #8

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια,θα συνεχίσω αύριο γιατί δεν με κρατάνε τα μάτια μου αλλο. Καλο σας βράδυ!

S3i · #9

Έστω $f(x) : [a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγισιμη ,
Ν.Δ.Ο $\exists (\xi _n)\in (a,b)\Rightarrow \lim_{n}f'(\xi _n)=f'(a)$
Λίγη βοήθεια εδω. Σκεφτηκα το θεώρημα νταρμπου,μιας και αν η f'(x) ήταν συνεχής από Α.Μ θα χα με εύκολα το ζητούμενο αλλά ίσως μια ιδιότητα της συνέχειας να είναι αρκετή. Κατι λείπει ώμος

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

S3i έγραψε:Έστω $f(x) : [a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγισιμη ,
Ν.Δ.Ο $\exists (\xi _n)\in (a,b)\Rightarrow \lim_{n}f'(\xi _n)=f'(a)$
Λίγη βοήθεια εδω. Σκεφτηκα το θεώρημα νταρμπου,μιας και αν η f'(x) ήταν συνεχής από Α.Μ θα χα με εύκολα το ζητούμενο αλλά ίσως μια ιδιότητα της συνέχειας να είναι αρκετή. Κατι λείπει ώμος .

Υπόδειξη.

Πάρε $x_{n}\rightarrow a$ πχ $x_{n}=a+\frac{1}{n}$
εφάρμοσε ΘΜΤ κτλ

S3i · #11

Εστω $\chi _n \rightarrow a$
Θ.Μ.Τ στο $\left [a, \chi _n \right ]\forall n\in\mathbb{N}\Rightarrow f'(\xi _n)=\frac{f(\chi _n)-f(a)}{\chi _n-a}\underset{n}{\rightarrow}f'(a)$ λόγω Α.Μ. Σωστά?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

S3i έγραψε:Εστω $\chi _n \rightarrow a$
Θ.Μ.Τ στο $\left [a, \chi _n \right ]\forall n\in\mathbb{N}\Rightarrow f'(\xi _n)=\frac{f(\chi _n)-f(a)}{\chi _n-a}\underset{n}{\rightarrow}f'(a)$ λόγω Α.Μ. Σωστά?

Αν Α.Μ σημαίνει αρχή μεταφοράς η απόδειξη είναι σωστή.
Δεν είναι καλογραμμένη η διατύπωση.

S3i · #13

Εννοω οτι $\forall x_n$
Θ.Μ.Τ στο $\left [ a,x_1 \right ]...\left [ a,x_n \right ]$
ώστε να ορίσω επαγωγικά την $(\xi_n)$ .

Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Re: Σετ Ασκήσεων συνέχεια-διαφορικός λογισμός

Μέλη σε σύνδεση