Ανισότητα με πολυγάμμα

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\psi^{(n)}$ τη νιοστή πολυγάμμα και έστω $n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ . Δείξατε ότι:
$\displaystyle{\frac{\psi^{(n)}(z)}{\psi^{(n+1)}(z)} \geq \frac{\psi^{(n+1)}(z)}{\psi^{(n+2)}(z)} \quad , \quad z >0}$

Tolaso J Kos · #2

Όχι ε ;

Tolaso J Kos · #3

Μία απάντηση:

Αποδεικνύουμε την ισχυρότερη ανισότητα:

Για $n=1, 2 , \dots$ και ισχύει ότι
$\displaystyle{\psi^{(m)}(z) \psi^{(n)} (z) \geq \psi^{(\frac{m+n}{2})} (z)}$ με $\frac{m+n}{2} \in \mathbb{Z}$ .

Η απόδειξη έρχεται ως απόρροια της Cauchy - Schwartz. Η

- οστή παράγωγος της πολυγάμμα έχει ολοκληρωτική αναπαράσταση τη

$\displaystyle{\psi^{(n)} (z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^n}{1-e^{-t}} e^{-zt} \, {\rm d}t}$ Επειδή όμως ισχύει:

$\displaystyle{\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) f^m (t) \, {\rm d}t \int_{a}^{b} g(t) f^n(t) \, {\rm d}t \geq \int_{a}^{b} g(t) f^{(m+n)/2} (t) \, {\rm d}t}$
( γενικευμένη Cauchy - Schwartz) το αποτέλεσμα έπεται αν θέσουμε f(t)=t

, $g(t) = \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}$ καθώς και a=0

, $b=\infty$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Τόλη έχεις φάει τετράγωνα(όχι Πανοράματος)
Στην C-S σίγουρα.

#5

Χμ .. εννοούσες τις νιοστές παραγώγους .. και παιδευόμουν με τις ν-γαμμα ..

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 23, 2017 12:08 am Τόλη έχεις φάει τετράγωνα(όχι Πανοράματος)
Στην C-S σίγουρα.

Σταύρο,

δίκιο έχεις κάτι λείπει.. Θα το ξανά δω.

Υ.Σ: Έχω την εντύπωση πως είναι τρίγωνα πανοράματος ( εμείς εδώ τα λέμε τριγωνάκια πανοράματος )

Ανισότητα με πολυγάμμα

Ανισότητα με πολυγάμμα

Re: Ανισότητα με πολυγάμμα

Re: Ανισότητα με πολυγάμμα

Re: Ανισότητα με πολυγάμμα

Re: Ανισότητα με πολυγάμμα

Re: Ανισότητα με πολυγάμμα

Μέλη σε σύνδεση