Όριο διωνυμικού αθροίσματος

Tolaso J Kos · #1

Ας επεκτείνουμε λίγο το θέμα εδώ ....

(α) Αποδείξατε ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{-1} =2}$ . ( Μπορείτε αν θέλετε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα στο σύνδεσμο αν και δε χρειάζεται )

(β) Αποδείξατε ότι $\displaystyle{\sum_{m=0}^n\frac1{\binom{n}{m}}=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{2}{\binom{n}{j}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^m}\right)}$ .

(Μπορεί να μοιάζει σαν ένα μεγάλος φαύλος κύκλος η τελευταία ισότητα, αλλά αυτό που λέει είναι αρκετά σημαντικό.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Δεκ 26, 2017 9:34 pm (α) Αποδείξατε ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{-1} =2}$ . ( Μπορείτε αν θέλετε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα στο σύνδεσμο αν και δε χρειάζεται )

Μία απλή λύση του α), χωρίς χρήση της παραπομπής. Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι

$\displaystyle{ \binom{n}{0}= \binom{n}{n}=1, \, \binom{n}{1}= \binom{n}{n-1}=n$ και όλοι οι άλλοι συντελεστές ικανοποιούν (άμεσο π.χ. από συνδυαστικό επιχείρημα) $\displaystyle{ \binom{n}{k}\ge \frac {1}{2}n(n-1) }$ για $\displaystyle{ k\ge 3}$ .

Έτσι η δοθείσα παράσταση είναι $\displaystyle{>2$ και $\le 2+ \frac {2}{n} + (n-1) \frac {2}{n(n-1)}\to 2}$ . Και λοιπά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Δεκ 26, 2017 9:34 pm
(β) Αποδείξατε ότι $\displaystyle{\sum_{m=0}^n\frac1{\binom{n}{m}}=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{2}{\binom{n}{j}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^m}\right)}$ .

(Μπορεί να μοιάζει σαν ένα μεγάλος φαύλος κύκλος η τελευταία ισότητα, αλλά αυτό που λέει είναι αρκετά σημαντικό.

Είναι ενδιαφέρον αλλά η εκφώνηση είναι προβληματική γιατί το

έχει δύο διαφορετικούς ρόλους: Τρέχων δείκτης στο πρώτο άθροισμα ενώ είναι δεδομένος σταθερός αριθμός στο δεύτερο.

Όριο διωνυμικού αθροίσματος

Όριο διωνυμικού αθροίσματος

Re: Όριο διωνυμικού αθροίσματος

Re: Όριο διωνυμικού αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση