Εμβαδόν

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\bar{g}(u, v)= \left( u^2- v^2 , 2uv \right)^\top$ και έστω $\mathbb{T}$ το τμήμα του μοναδιαίου κυκλικού δίσκου με κέντρο την αρχή των αξόνων το οποίο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.

Σχεδιάσατε το $\bar{g}$ .
Υπολογίσατε το εμβαδόν του $\bar{g}(T)$ .

Θέμα εξετάσεων Απειροστικού IV σε μαθηματικό τμήμα.

#2

Το τμήμα

του μοναδιαίου κυκλικού δίσκου με κέντρο την αρχή των αξόνων, που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο γράφεται και ως

$T=\big\{(\rho\cos{\varphi},\rho\sin{\varphi})\in{\mathbb{R}}^2\; \big|\;\rho\in[0,1]\,,\; \varphi\in\big[0,\frac{\pi}{2}\big]\big\}\,.$

Επομένως

$\begin{aligned} \overline{g}(T)&=\big\{\big(\rho^2\cos^2{\varphi}-\rho^2\sin^2{\varphi},\rho^2\,2\sin{\varphi}\cos{\varphi}\big)\in{\mathbb{R}}^2\; \big|\;\rho\in[0,1]\,,\; \varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\big\}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\big\{\big(\rho^2\cos(2{\varphi}),\rho^2\sin({2\varphi})\big)\in{\mathbb{R}}^2\; \big|\;\rho\in[0,1]\,,\; \varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\big\}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\big\{\big(\rho^2\cos\vartheta,\rho^2\sin\vartheta\big)\in{\mathbb{R}}^2\; \big|\;\rho\in[0,1]\,,\; \vartheta\in[0,\pi]\big\}\,, \end{aligned}$

που είναι ο "άνω" μισός μοναδιαίος δίσκος με κέντρο την αρχή των αξόνων.

: apologIV3.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Το εμβαδόν του $\overline{g}(T)$ ισούται με

$A\big(\overline{g}(T)\big)=\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}r\,d\vartheta\,dr=\pi\int_{0}^{1}r\,dr=\frac{\pi}{2}\,.$

Εμβαδόν

Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση