Ολοκληρώσιμη ή όχι

M.S.Vovos · #1

Αν θυμάμαι καλά ήταν θέμα εξέτασης Απειροστικού λογισμού ΙΙ στο ΕΚΠΑ. Δεν θυμάμαι χρονιά. Το θυμήθηκα τώρα που ανέβασε ο κ. Γρηγόρης το θέμα με την διαφορισιμότητα.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{ne^{nx}}, &x\geq 0 \\ 0, &x<0 \end{matrix}\right.}$
Να εξετάσετε αν η

είναι $\textup{Riemann}$ ολοκληρώσιμη στο διάστημα $\left [ -1,1 \right ]$ .

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: Τρί Φεβ 13, 2018 6:42 pm Αν θυμάμαι καλά ήταν θέμα εξέτασης Απειροστικού λογισμού ΙΙ στο ΕΚΠΑ. Δεν θυμάμαι χρονιά. Το θυμήθηκα τώρα που ανέβασε ο κ. Γρηγόρης το θέμα με την διαφορισιμότητα.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{ne^{nx}}, &x\geq 0 \\ 0, &x<0 \end{matrix}\right.}$
Να εξετάσετε αν η είναι $\textup{Riemann}$ ολοκληρώσιμη στο διάστημα $\left [ -1,1 \right ]$ .

Φιλικά,
Μάριος

Για $x\geq 0$ είναι
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n e^{nx}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n} = - \log (1+e^{-x})}$ Άρα η

γράφεται
$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} -\log(1+e^x) &, & x \geq 0 \\ 0 & , & x<0 \end{matrix}\right.}$ Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( -\log(1+e^{-x}) \right ) = -\log 2 \neq 0 = \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) }$
Οπότε η

είναι συνεχής στο (0, 1]

και στο

αλλά όχι στο

το οποίο είναι ένα σημείο. Επιπλέον είναι φραγμένη. Συνεπώς η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Ελπίζω μην έκανα κάνα λάθος πάνω στη βιασύνη μου!

M.S.Vovos · #3

Όμορφα Τόλη. Τα ποσοστά στο μάθημα αν θυμάμαι ήταν 70-30.

Ολοκληρώσιμη ή όχι

Ολοκληρώσιμη ή όχι

Re: Ολοκληρώσιμη ή όχι

Re: Ολοκληρώσιμη ή όχι

Μέλη σε σύνδεση