Σειρά

M.S.Vovos · #1

Περισσότερο όγκο παρά δυσκολία...

Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}$
Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Φεβ 18, 2018 6:09 pm Περισσότερο όγκο παρά δυσκολία...

Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}$
Φιλικά,
Μάριος

Τίποτα παραπάνω από brute force calculation. Διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(-1)^n n}{2n^3+3n^2+n}+ \frac{2n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{(-1)^n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{1}{2n^3+3n^2+n} \right ]\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(-1)^n}{2n^2+3n+1} + \frac{2}{2n^2+3n+1} +\frac{(-1)^n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{1}{2n^3+3n^2+n} \right ] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [\frac{(-1)^n}{(2n+1)(n+1)} + \frac{2}{(2n+1)(n+1)} + \frac{(-1)^n}{n(2n+1)(n+1)} + \frac{1}{n(2n+1)(n+1)} \right ] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \bigg [ \frac{2(-1)^n}{2n+1} \cancel{-\frac{(-1)^n}{n+1}} + \bcancel{\frac{4}{2n+1}} - \frac{2}{n+1} + \cancel{\frac{(-1)^n}{n+1}} - \\ &\quad \quad \quad - \frac{4(-1)^n}{2n+1}+ \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n+1} \bcancel{- \frac{4}{2n+1}} +\frac{1}{n} \bigg ] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\left [ -\frac{2(-1)^n}{2n+1} + \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] \\ &= -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + \cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] }\\ &=\frac{4-\pi}{2} - \log 2 + 1 \end{aligned} }$ διότι $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$ από το Gregory Series.

Τώρα αν ξέφυγε τίποτα άντε βρες το...!! Αναμένω επιβεβαίωση.

#3

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Φεβ 18, 2018 6:09 pm Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}$

Ο γενικός όρος είναι $\displaystyle{ \frac { (-1)^n(n+1)+(2n+1) }{ n(2n+1)(n+1)}= \frac { (-1)^n }{n} - \frac { 2 (-1)^n }{2n+1} + \left ( \frac { 1 }{n} - \frac { 1 }{n+1}\right )}$

Αθροίζοντας "κατά στήλες" (δηλαδή τους όρους κάθε προσθετέου χωριστά) θα βρούμε από γνωστές σειρές, $\displaystyle{ -\ln 2 - 2\left ( -1+\frac {\pi}{4} \right )+1 = 3-\ln 2 -\frac {\pi}{2}}$

Edit: Έγραφα συγχρόνως με τον Τόλη. Το αφήνω ως κάπως απλούστερο, και για τον κόπο.

M.S.Vovos · #4

Άψογα! Ευχαριστώ και τους δύο.

Σειρά

Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά

Μέλη σε σύνδεση