Σύγκλιση σειράς με ημίτονο

Tolaso J Kos · #1

Δε θυμάμαι αν έχουμε δει τη παρακάτω σειρά. Βέβαια στις τόσες παρόμοιες που έχουμε συζητήσει μπορεί να μου διαφεύγει.

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:
$\displaystyle{\mathcal{S} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left ( \pi \sqrt{n^2+1} \right )}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Μαρ 25, 2018 7:37 pm Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:
$\displaystyle{\mathcal{S} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left ( \pi \sqrt{n^2+1} \right )}$

Ο γενικός όρος είναι

$\displaystyle{ \sin \left ( \pi \sqrt{n^2+1} \right ) = (-1)^{n}\sin \left ( \pi \sqrt{n^2+1} - n \pi \right )= (-1)^{n}\sin \frac { \pi }{\sqrt{n^2+1} + n }}$

$\displaystyle{ = (-1)^{n} \left ( \frac { \pi }{\sqrt{n^2+1} + n } + \big O \left ( \frac {1}{n^2\right ) \right ) = (-1)^{n} \left ( \frac { \pi }{2 n } + \big O \left ( \frac {1}{n^2} \right ) \right ) }$

Οπότε η σειρά συγκλίνει αφού συγκλίνουν οι δύο επιμέρους εναλλάσουσες που βλέπουμε.

Σύγκλιση σειράς με ημίτονο

Σύγκλιση σειράς με ημίτονο

Re: Σύγκλιση σειράς με ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση