Σειρά με ΜΚΔ

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\gcd(\cdot, \cdot)$ το μέγιστο κοινό διαιρέτη. Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\gcd(n, 2016)}{n^2}}$

dement · #2

Γράφουμε (από τη γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης $\phi$ του Euler) $\displaystyle \gcd(n,2016) = \sum_{d|\gcd(n,2016)} \phi (d)$ . Έτσι, η σειρά γίνεται

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\gcd(n,2016)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{d|\gcd(n,2016)} \frac{\phi(d)}{n^2} = \sum_{d|2016} \sum_{\substack{n \\ d|n}} \frac{\phi(d)}{n^2} = \sum_{d|2016} \phi(d) \sum_{\substack{n \\ d|n}} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \sum_{d|2016} \frac{\phi(d)}{d^2}$

Η συνάρτηση $\displaystyle g(n) \equiv \frac{\phi(n)}{n^2}$ είναι πολλαπλασιαστική και ισχύει $\displaystyle g(1) = 1, g(p^k) = \frac{1}{p^k} - \frac{1}{p^{k+1}}$ για

πρώτο και

, οπότε έχουμε $\displaystyle \sum_{k=0}^n g(p^k) = 1 + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^{n+1}}$ .

Άρα, αφού $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ έχουμε $\displaystyle \sum_{d|2016} g(d) = \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^6} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3^3} \right) \left( 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{7^2} \right) = \frac{26125}{12096}$

Τελικά η σειρά ισούται με $\displaystyle \frac{26125}{12096} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{26125 \pi^2}{72576}$ .

Σειρά με ΜΚΔ

Σειρά με ΜΚΔ

Re: Σειρά με ΜΚΔ

Μέλη σε σύνδεση