Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Tolaso J Kos · #1

Έστω η ακολουθία συναρτήσεων $f_n:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $n \in \mathbb{N}$ με τύπο

$\displaystyle{f_n(x) = \frac{n}{n^3+x^2}}$
Δείξατε ότι:

οι σειρές $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f_n$ και $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f'_n$ συγκλίνουν ομοιόμορφα σε συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .
οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
.
Ισχύουν ότι:

$\displaystyle{\int_{-1}^{1} f(x) \, {\rm d}x = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan \frac{1}{n \sqrt{n}} \quad, \quad \int_{-\pi}^{\pi} x^4 g(x) \, {\rm d}x = 0}$
το ολοκλήρωμα $\bigintsss \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \, {\rm d}x$ αποκλίνει.

Όπως λέει και ο τίτλος ήταν θέμα εξετάσεων Απειροστικού λογισμού IV σε κάποιο μαθηματικό τμήμα.

#2

Οι συναρτήσεις $f_{n}:\,\mathbb{R}\,\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f_{n}(x)=\frac{n}{n^3+x^2}$ , είναι παραγωγίσιμες σε όλο το $\mathbb{R}$ , με παραγώγους τις συναρτήσεις $f_{n}^{\prime}(x)=-\frac{2nx}{({n^3+x^2})^2}$ , $x\in\mathbb{R}$ , $n\in\mathbb{N}$ .

Οι συναρτήσεις $\left|{f_{n}^{\prime}(x)}\right|=\big|{-\frac{2nx}{({n^3+x^2})^2}}\big|$ παρουσιάζουν μέγιστο στο $x=\frac{n^{3/2}\,\sqrt{3}}{3}$ και επομένως για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , $n\in\mathbb{N}$ , ισχύει

$\displaystyle \displaystyle\left|{f_{n}^{\prime}({x})}\right|\leqslant\left|{f_{n}^{\prime}\bigl({\tfrac{n^{3/2}\,\sqrt{3}}{3}}\bigr)}\right|=\frac{3\sqrt{3}}{8n^{7/2}}\,.$
Επειδή $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3\sqrt{3}}{8n^{7/2}}<+\infty$ , από το κριτήριο του Weierstrass προκύπτει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}=\sum_{n=1}^{+\infty}{-\frac{2nx}{({n^3+x^2})^2}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\mathbb{R}$ σε μία συνάρτηση

.

Επειδή $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(0)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ , από θεώρημα προκύπτει ότι και η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

, δηλαδή $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}=f$ , για την οποία ισχύει $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}=f^{\prime}=g$ .

Επειδή $\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}=f$ ομοιόμορφα, από θεώρημα προκύπτει ότι ισχύει

$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)\,dx}&=\int_{-1}^{1}{\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\int_{-1}^{1}{f_{n}(x)\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\int_{-1}^{1}{\dfrac{n}{n^3+x^2}\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=2\,\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}\,\arctan\tfrac{1}{n\sqrt{n}}}\,. \end{aligned}$
Επειδή η συνάρτηση

είναι άρτια, έπεται ότι η συνάρτηση g=f'

είναι περιττή. Όπως και η συνάρτηση $x^4g(x)\,,\; x\in \mathbb{R}$ .
Επομένως $\int_{-\pi}^{\pi}{x^4\,g(x)\,dx}=0$ .

Τέλος, $\begin{aligned} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)\,dx}&=2\int_{0}^{+\infty}{f(x)\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=2\int_{0}^{+\infty}{\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}{f_{n}(x)\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{n}{n^3+x^2}\,dx}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{\pi}{2\sqrt{n}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=+\infty\,. \end{aligned}$

#3

Με παρόμοιο τρόπο είναι:

$\displaystyle I(R) = \int_{-R}^R f(x) \, \mathrm{d}x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan\left( \frac{R}{n\sqrt{n}}\right)$

Επειδή $\arctan(x) \geqslant \pi/4$ για $x \geqslant 1$ , τότε

$\displaystyle I(R) \geqslant \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{[R^{2/3}]} \frac{1}{\sqrt{n}} \geqslant \frac{\pi}{2} \int_1^{R^{2/3}} \frac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x = \pi(R^{1/3}-1) \to \infty$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 3:49 pm Έστω η ακολουθία συναρτήσεων $f_n:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $n \in \mathbb{N}$ με τύπο

$\displaystyle{f_n(x) = \frac{n}{n^3+x^2}}$
Δείξατε ότι:

οι σειρές $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f_n$ και $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f'_n$ συγκλίνουν ομοιόμορφα

Ένας γρήγορος τρόπος να αποδείξουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f_n$ και $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f'_n$ είναι (πάλι με Weierstrass) από τις

$\displaystyle{ 0\le \frac{n}{n^3+x^2}} \le \frac{n}{n^3+0}} = \frac{1}{n^2}}}$ και

$\displaystyle{ \left |f_{n}^{\prime}(x) \right | = \left |-\frac{2nx}{({n^3+x^2})^2} \right |= \frac{2n|x|}{({n^3+x^2})^2}\le \frac{n^2+x^2}{({n^3+x^2})^2}\le \frac{n^3+x^2}{({n^3+x^2})^2}= \frac{1}{n^3+x^2}}\le \frac{1}{n^3}}$

Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Re: Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Re: Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Re: Ένα θέμα εξετάσεων Απ. IV

Μέλη σε σύνδεση