Σύγκλιση σειράς 102

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}\big)\,.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: Παρ Απρ 06, 2018 10:59 am Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}\big)\,.$

η ακόμα καλύτερα
${\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}n^{a}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}\big)\,.$ για $a\in \mathbb{R}$

συμπλήρωμα. Άρση απόκρυψης.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

grigkost έγραψε: Παρ Απρ 06, 2018 10:59 am Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}\big)\,.$

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή:

https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 27#p292527

Η παραπάνω βρίσκει εφαρμογή στη προσέγγιση της Διωνυμικής από την Poisson και συγκεκριμένα στη ταχύτητα σύγκλισης.

Θα γράψω λύση αργότερα γιατί πρέπει να φύγω.

Η ΛΥΣΗ

Εδώ τα πράγματα είναι μάλλον πιο απλά και δεν θα χρησιμοποιήσω αυτή που ανέφερα. Με επαγωγή δείχνουμε εύκολα ότι

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n}$ οπότε $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}} \leq \sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt{n}}.$

Επειδή $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{2}}}=0$ και $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}<\infty$ παίρνουμε τελικά ότι η σειρά μας συγκλίνει.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Απρ 06, 2018 11:36 am ... η ακόμα καλύτερα
${\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}n^{a}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}\big)\,.$ για $a\in \mathbb{R}$

Δίνουμε μια λύση για την γενικότερη περίπτωση, ευελπιστώντας ότι θα δοθούν κι άλλες διαφορετικές λύσεις:

Για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , ισχύει
$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}\geqslant 2\sqrt{n}-2\quad\Rightarrow\quad-\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}\leqslant2-2\sqrt{n} \end{aligned}$

Επίσης
$\begin{aligned} 0<\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}n^{\alpha}\exp\big(-{\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}}\big)\leqslant{\rm{e}}^2\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}n^{\alpha}{\rm{e}}^{-2\sqrt{n}}\quad(1)\,. \end{aligned}$

Επειδή
$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}n\,\log\bigg(\frac{\frac{{\rm{e}}^{-2\sqrt{n}}}{n^{\alpha}}}{\frac{{\rm{e}}^{-2\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\alpha}}}\bigg)&=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}n\,\Big(\log\big({\rm{e}}^{-2\sqrt{n}}\,\big)-\log\big({{\rm{e}}^{-2\sqrt{n+1}}\,}\big)+\alpha\log\big(\tfrac{n+1}{n}\big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}n\Big(-2\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}+\alpha\log\big(\tfrac{n+1}{n}\big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\alpha\cancelto{1}{\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}n\log\big(\tfrac{n+1}{n}\big)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}+\alpha\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &= +\infty\,, \end{aligned}$

από το λογαριθμικό κριτήριο, έπεται ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha}{\rm{e}}^{-2\sqrt{n}}$ συγκλίνει για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$ . Από την (1)

και το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει το ανάλογο συμπέρασμα για την σειρά $\sum_{{n}=1}^{\infty}n^{\alpha}\exp\big(-\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa}}\big)$ .

Tolaso J Kos · #5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Απρ 06, 2018 12:41 pm $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n}$

Το παραπάνω όριο μου θύμισε το εξής όριο το οποίο το αφήνω για να υπολογιστεί:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} \right)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Απάντηση στην γενίκευση με σχολικά μαθηματικά.
(κάποτε οι σειρές ήταν στην σχολική ύλη)

Είναι $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq n\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$

Είναι γνωστό ότι $e^{x}\geq 1+x> x,x\in \mathbb{R}$

Ετσι για b>0

έχουμε $e^{x}=(e^{\frac{x}{b}})^{b}> \frac{x^{b}}{b^{^{b}}},x>0$

Ο γενικός όρος της σειράς είναι μικρότερος η ίσος από

$n^{a}e^{-\sqrt{n}}=\frac{n^{a}}{e^{\sqrt{n}}}< {n^{a-\frac{b}{2}}b^{b}$

Διαλέγοντας το

ετσι ώστε $b>0\wedge b>2(a+2)$

παίρνουμε από το κριτήριο σύγκρισης ότι η σειρά συγκλίνει

Tolaso J Kos · #7

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Απρ 10, 2018 9:36 pm
Το παραπάνω όριο μου θύμισε το εξής όριο το οποίο το αφήνω για να υπολογιστεί:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} \right)}$

Από Euler - MacLaurin είναι $\sum \limits_{k=1}^{n}k^{-1/2}=2n^{1/2}+\zeta \left( \frac{1}{2} \right) +o(1)$ άρα $\ell = \zeta \left( \frac{1}{2} \right)$ .

Σύγκλιση σειράς 102

Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Re: Σύγκλιση σειράς 102

Μέλη σε σύνδεση