Miscellaneous (2)

#1

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{i}{2}\Big(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\Big)$ ,

ας δειχθεί ότι $\displaystyle\Big(\frac{1}{x^{2}+1}\Big)^{(n)}=(-1)^{n}n!\sin\big((n+1)\cot^{-1}x\big)\sin^{n+1}(\cot^{-1}x)$ .

(

Ψιλοσάπιο και αυτό...

)

#2

Ζαλίστηκα .....

#3

Σεραφείμ νόμιζα ότι δε θα ασχολιόταν κανείς με αυτή την άσκηση καθότι λίαν σάπια (όπως και αρκετές που βάζω τελευταία...). Οφείλω να ομολογ= ότι το βιβλίο που διαβάζω αυτές τις μέρες (Advnaced Trigonometry Durell & Robson) έχει μπόλικες τέθοιες. Παρουσιάζουν όμως πιστεύω και κάποιο ενδιαφέρον διότι κάνοντας χρήση της "τριγωνομετρίας" βγάζουν διάφορα αποτελέσματα που φαίνονται ουρανοκατέβατα!! Ευχαριστώ για το χρόνο σου!!

Η δική μου αντιμετώπιση : δε διαφέρει και πολύ από τη δική σου:

Όπως έγραψες, είναι

$\displaystyle\Big(\frac{1}{x^{2}+1}\Big)^{(n)}=\frac{i}{2}\Big(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\Big)^{(n)}=\frac{n!i(-1)^{n}}{2}\big((x+i)^{-(n+1)}-(x-i)^{-(n+1)}\big)$ .

Θέτω εδώ $x=\cot\theta$ για κάποιο $\theta\in(0,\pi)$ και το παραπάνω γίνεται

$\displaystyle\frac{\sin^{n+1}\theta n!i(-1)^{n}}{2}\big((\cos\theta+i\sin\theta)^{-(n+1)}-(\cos\theta-i\sin\theta)^{-(n+1)}\big)=$

$\displaystyle(-1)^{n}n!\sin^{n+1}\theta\sin(n+1)\theta\stackrel{\theta=\cot^{-1}x}{=}(-1)^{n}n!\sin\big((n+1)\cot^{-1}x\big)\cdot\sin^{n+1}(\cot^{-1}x)$

Miscellaneous (2)

Miscellaneous (2)

Re: Miscellaneous (2)

Re: Miscellaneous (2)

Μέλη σε σύνδεση