Αναπαραμέτρηση με μήκος τόξου

Maidenas · #1

Έστω καμπύλη $\gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^3$ ομαλή ( οχι μοναδιαίας ταχύτητας ) και έστω $\beta : J \rightarrow \mathbb{R}^3$ αναπαραμέτρηση με μοναδιαία ταχύτητα, δηλαδή
$\beta(s)=\gamma(\phi(s))$ για $\phi : I \rightarrow J$

Τότε,

$\beta ' (s) = \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi ' (s)$

$\beta '' (s) = \gamma '' (\phi(s)) \cdot ( \phi ' (s))^2 + \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi '' (s)$

Άρα,
$\|\beta ' (s) \| = \|\gamma ' (\phi(s)) \| \cdot | \phi ' (s) |$

$\beta ' (s) \times \beta '' (s) = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = ( \gamma ' (\phi(s)) \times \gamma '' (\phi(s))) (\phi ' (s))^3$

Καλησπέρα στο forum
Έχω απορία πως στην 2η τελίτσα το εξωτερικό γινόμενο καταλήγει εκεί....

Προσπάθησα να το κάνω χωρίς επιτυχία , δεν ήξερα τι να βάλω μέσα στον μνημονικό κανόνα της ορίζουσας για το εξωτερικό γινόμενο...

Μπορεί κάποιος να με με βοηθήσει ;;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Maidenas έγραψε: Πέμ Νοέμ 01, 2018 4:34 pm
Έστω καμπύλη $\gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^3$ ομαλή ( οχι μοναδιαίας ταχύτητας ) και έστω $\beta : J \rightarrow \mathbb{R}^3$ αναπαραμέτρηση με μοναδιαία ταχύτητα, δηλαδή
$\beta(s)=\gamma(\phi(s))$ για $\phi : I \rightarrow J$

Τότε,

$\beta ' (s) = \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi ' (s)$

$\beta '' (s) = \gamma '' (\phi(s)) \cdot ( \phi ' (s))^2 + \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi '' (s)$

Άρα,
$\|\beta ' (s) \| = \|\gamma ' (\phi(s)) \| \cdot | \phi ' (s) |$

$\beta ' (s) \times \beta '' (s) = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = ( \gamma ' (\phi(s)) \times \gamma '' (\phi(s))) (\phi ' (s))^3$
Καλησπέρα στο forum
Έχω απορία πως στην 2η τελίτσα το εξωτερικό γινόμενο καταλήγει εκεί....

Προσπάθησα να το κάνω χωρίς επιτυχία , δεν ήξερα τι να βάλω μέσα στον μνημονικό κανόνα της ορίζουσας για το εξωτερικό γινόμενο...

Μπορεί κάποιος να με με βοηθήσει ;;

Δεν χρειάζεται να πάρεις την ορίζουσα.

Πολλαπλασιάζεις εξωτερικά τις

$\beta ' (s) = \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi ' (s)$

$\beta '' (s) = \gamma '' (\phi(s)) \cdot ( \phi ' (s))^2 + \gamma ' (\phi(s)) \cdot \phi '' (s)$

χρησιμοποιείς στοιχειώδεις ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου και προκύπτει.

Maidenas · #3

Είναι αυτό που λένε στην Κρήτη
"Καλλιά να νιώθεις παρά να μπόθεις"

Ευχαριστωωω!!

Αναπαραμέτρηση με μήκος τόξου

Αναπαραμέτρηση με μήκος τόξου

Re: Αναπαραμέτρηση με μήκος τόξου

Re: Αναπαραμέτρηση με μήκος τόξου

Μέλη σε σύνδεση