Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ σειρὰ $\sum a_n$ ἀποκλίνει, ὅπου , διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ . Γιὰ ποιὲς τιμὲς τοῦ συγκλίνει ἡ σειρά:

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{(a_1+\cdots+a_n)^p}; }$

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Δευ Ιούλ 29, 2019 10:26 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ σειρὰ $\sum a_n$ ἀποκλίνει, ὅπου , διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ . Γιὰ ποιὲς τιμὲς τοῦ συγκλίνει ἡ σειρά:

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{(a_1+\cdots+a_n)^p}; }$

Γιώργο,

Στο ποστ εδώ βλέπουμε ότι για p=1

(και άρα για όλα τα

με $0<p\le 1$ ) η σειρά αποκλίνει. Επίσης στο ποστ εδώ βλέπουμε ότι για p>1

η σειρά συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Δευ Ιούλ 29, 2019 10:26 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ σειρὰ $\sum a_n$ ἀποκλίνει, ὅπου , διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ . Γιὰ ποιὲς τιμὲς τοῦ συγκλίνει ἡ σειρά:

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{(a_1+\cdots+a_n)^p}; }$

Για

η σύγκλιση μπορεί να προκύψει και ως εξής:

Θέτουμε $s_{n}=a_{1}+a_{2}+....+a_{n}$

και θεωρούμε τα σύνολα

$A_{k}=\left \{ n:2^{k}\leq s_{n}< 2^{k+1} \right \},k=0,1,2,...$

Είναι
$\cup _{k\in \mathbb{N}}A_{k}=\left \{ n:n\geq m \right \}$
οπου

ενας φυσικός .

Επίσης τα $A_{k}$ είναι ξένα ανά δύο.

Εχουμε
$\displaystyle \sum _{n\in A_{k}}\frac{a_{n}}{s_{n}^{p}}\leq \frac{1}{2^{kp}}\sum _{n\in A_{k}}a_{n}< \frac{2^{k+1}}{2^{kp}}=2(\frac{1}{2^{p-1}})^{k}$

Η τελευταία μαζί με τα παραπάνω μας δίνουν την σύγκλιση.

Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

Re: Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

Re: Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

Μέλη σε σύνδεση