Μέγιστη Τιμή Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος

#1

Θεωρήστε το διανυσματικό πεδίο

$\displaystyle{\overrightarrow{\bf{F}}=(y^2+z^2,x^2+z^2,x^2+y^2)}$ .

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατα μήκος μια καμπύλης για το $\displaystyle{\overrightarrow{\bf{F}}}$ στη
μοναδιαία σφαίρα $\displaystyle{\mathbb{S}^2}$ με κέντρο την αρχή των αξόνων $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=1}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

dement · #2

Επι της μοναδιαιας σφαιρας το διανυσματικο πεδιο μπορει να γραφει ως

$\vec{F} = (1 - x^2, 1 - y^2, 1 - z^2)$ , οποτε το επικαμπυλιο ολοκληρωμα απο το (x_1, y_1, z_1)

στο

ισουται με f(x_2, y_2, z_2) - f(x_1, y_1, z_1)

με $f(x,y,z) = \displaystyle x + y + z - \frac{x^3 + y^3 + z^3}{3}$ . Απο τις μερικες παραγωγους βλεπουμε οτι, οταν η

μεγιστοποιειται, τα x,y,z

ειναι θετικα.

Σε αυτη την περιπτωση ισχυει $\displaystyle \left( \frac{x + y + z}{3} \right) \leq \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \right)^{1/2} \leq \left( \frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \right)^{1/3}$ (με ισοτητα αν x = y = z

). Ετσι, η f(x,y,z)

εχει μεγιστη τιμη το $\displaystyle \sqrt{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}$ (για $\displaystyle x_2 = y_2 = z_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ) και ελαχιστη τιμη το $\displaystyle - \sqrt{3} + \frac{1}{3 \sqrt{3}}$ (για $\displaystyle x_1 = y_1 = z_1 = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ ).

Οποτε η μεγιστη τιμη του επικαμπυλιου ολοκληρωματος ειναι $\displaystyle 2 \left( \sqrt{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \right)$ .

Δημητρης Σκουτερης

#3

Τέλεια!

Αχιλλέας

Μέγιστη Τιμή Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος

Μέγιστη Τιμή Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος

Re: Μέγιστη Τιμή Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος

Re: Μέγιστη Τιμή Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση