Ακολουθία-Σύγκλιση

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνεται πραγματικός p>1

.

Θεωρούμε την ακολουθία a_1,a_2,a_3,...

θετικών πραγματικών για την οποία

ισχύει $a_na_{n+1}a_{n+2}^{p}+a_{n+2}-a_n=0,n\geq 1.$

Εξετάστε αν η $\left \{ a_n \right \}$ συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2019 9:43 pm Δίνεται πραγματικός .

Θεωρούμε την ακολουθία θετικών πραγματικών για την οποία

ισχύει $a_na_{n+1}a_{n+2}^{p}+a_{n+2}-a_n=0,n\geq 1.$

Εξετάστε αν η $\left \{ a_n \right \}$ συγκλίνει.

Γράφοντας $a_na_{n+1}a_{n+2}^{p}=-a_{n+2}+a_n,n\geq 1.$
συμπεραίνουμε
ότι $(a_{2n}),(a_{2n+1})$
φθίνουσες.
Αφού είναι και φραγμένες κάτω συγκλίνουν σε μή αρνητικούς αριθμούς.

Ετσι $a_{2n}\rightarrow x,a_{2n+1}\rightarrow y$

Παίρνοντας όριο στην αρχική έχουμε
$x^{p+1}y=0$

Αρα x=y=0

που δείχνει ότι $a_{n}\rightarrow 0$

Συμπλήρωμα.
Υπαρχει πρόβλημα στην λύση.
Δεν προκύπτει τουλάχιστον άμεσα από την $x^{p+1}y=0$ η x=y=0

.
Ευχαριστώ τον Λάμπρο Κατσάπα που μου το επισήμανε.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Επαναφορά. Δείξτε ότι $a_n\rightarrow 0.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γράφοντας $a_na_{n+1}a_{n+2}^{p}=-a_{n+2}+a_n,n\geq 1.$
συμπεραίνουμε
ότι $(a_{2n}),(a_{2n+1})$
φθίνουσες.
Αφού είναι και φραγμένες κάτω συγκλίνουν σε μή αρνητικούς αριθμούς.

Ετσι $a_{2n}\rightarrow x,a_{2n+1}\rightarrow y$

Παίρνοντας όριο στην αρχική έχουμε
$x^{p+1}y=0$
Ένα από τα x,y

θα είναι

Εστω

.Θα δείξουμε ότι και y=0

Εστω

Θέτουμε $c_{n}=a_{2n}\rightarrow 0,b_{n}=a_{2n+1}\rightarrow y$
Ειναι
$c_{n}b_{n}c_{n+1}^{p}=c_{n}-c_{n+1},b_{n}c_{n+1}b_{n+1}^{p}=b_{n}-b_{n+1},$
παίρνουμε
$c_{n}c_{n+1}^{p-1}(b_{n}-b_{n+1})=b_{n+1}^{p} (c_{n}-c_{n+1})$
Για $n\geq m$
είναι
$c_{m}^{p}(b_{n}-b_{n+1})\geq y^{p} (c_{n}-c_{n+1})$
αθροίζοντας παίρνουμε
$c_{m}^{p}(b_{m}-b_{n+1})\geq y^{p} (c_{m}-c_{n+1})$
Η τελευταία για $n\rightarrow \infty$
δίνει
$c_{m}^{p}(b_{m}-y)\geq y^{p} c_{m}$
δηλαδή
$c_{m}^{p-1}(b_{m}-y)\geq y^{p}$
παίρνοντας $m\rightarrow \infty$
εχουμε y=0

Αφου

είναι
$a_{n}\rightarrow 0$
όμοια αν ξεκινήσουμε από το y=0

.

Ακολουθία-Σύγκλιση

Ακολουθία-Σύγκλιση

Re: Ακολουθία-Σύγκλιση

Re: Ακολουθία-Σύγκλιση

Re: Ακολουθία-Σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση