ΔΕ

mick7 · #1

Να επιλυθεί η ΔΕ με $\displaystyle y=y(x)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-x+\frac{y}{2x}+y^2$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:19 pm
Να επιλυθεί η ΔΕ με $\displaystyle y=y(x)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-x+\frac{y}{2x}+y^2$

Γράφοντας την εξίσωση ως $\displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} =-x+y^2$ βλέπουμε (άμεσο) ότι έχει ολοκληρωτικό παράγοντα το $x^{-1/2}$ . Πολλαπλασιάζοντας με αυτό έχουμε

$\displaystyle x^{-1/2}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2}x^{-3/2}y =-x^{1/2}+ x^{-1/2} y^2$ , άρα

$\displaystyle \left ( x^{-1/2}y \right ) ' =-x^{1/2}+ x^{-1/2} y^2$

Γράφουμε $v= x^{-1/2}y$ οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{ \dfrac {dv}{dx} = x^{1/2} (-1+v^2)}$

Άρα (μέθοδος χωρισμού μεταβλητών)

$\displaystyle{ \int \dfrac {dv}{v^2-1} = \int x^{1/2}dx}$ , οπότε $\displaystyle{ \ln \dfrac {v-1}{v+1} = \dfrac {3}{2}x^{3/2} + c}$ . Και λοιπά.

ΔΕ

ΔΕ

Re: ΔΕ

Μέλη σε σύνδεση