Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#1

Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$ , γύρω από τον

-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια

.

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από την επιφάνεια .
Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης $\overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}]$ , γύρω από τον -άξονα και $\Sigma_1$ το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και $x=\log2$ , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z)$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$ , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από την επιφάνεια .

Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης $\overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}]$ , γύρω από τον -άξονα και $\Sigma_1$ το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και $x=\log2$ , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z)$ .

Γρηγόρη καλημέρα από τα ηλιόλουστα Γρεβενά...

Κατ' αρχήν σχεδιάζουμε την παραμετρική αυτή καμπύλη.
Έτσι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Η παραμετρική αυτή καμπύλη ορίζεται, σύμφωνα με την εκφώνηση, από τη σχέση:

$\displaystyle{\bar{c(t)}=(t-tanh(t),0,\frac{1}{cosh(t)}), \ \ t \in R \ \ (1)}$

ή αλλιώς:

$\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ 0 \\ \displaystyle\frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \ \ t \in R \ \ (2)}$

Από την εξίσωση αυτή της καμπύλης $\displaystyle{(c)}$ μπορούμε να βρούμε την παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας εκείνης

η οποία δημιουργείται από την περιστροφή αυτής κατά τον άξονα των $\displaystyle{x'Ox}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{2\pi}$ .

Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε την μορφή του διανύσματος - στήλη της (2) με τον πίνακα στροφής

περί τον άξονα των τετμημένων ο οποίος είναι:

$\displaystyle{ R_1(\theta)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0& cos(\theta)& -sin(\theta)\\ 0& \sin(\theta)& cos(\theta) \end{pmatrix}, \theta \in [0,2\pi], \ \ (3) }$

Έτσι το γινόμενο:

$\displaystyle{S(\theta, t)=R_1(\theta) \cdot (\bar{c}) = \begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ \displaystyle \frac{-sin(\theta)}{cosh(t)} \\ \displaystyle \frac{cos(\theta)}{cosh(t) \end{pmatrix}, \ \ \theta \in [0,2\pi], \ \ t \in R \ \ (4) }$

είναι η εξίσωση της ζητούμενης επιφάνειας η οποία φαίνεται στα κατωτέρω σχήματα:

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 2.png (63.13 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Το σχήμα αυτό αντιστοιχεί για κάποια γωνία μικρότερη των $\displaystyle{2\pi}$ .

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 3.png (59.7 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Το σχήμα αυτό εμφανίζει την επιφάνεια αυτή για γωνία ίση με $\displaystyle{2\pi}$ .

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$ , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από την επιφάνεια .

Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης $\overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}]$ , γύρω από τον -άξονα και $\Sigma_1$ το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και $x=\log2$ , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z)$ .

(Συνέχεια...)

Επιστρέφουμε πάλι στη δοθείσα καμπύλη που έχει εξίσωση:

$\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix}t-tanh(t)\\0\\\ \displaystyle \frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \ \ t \in R \ \ (1) }$

και έχει την ακόλουθη μορφή:

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Το εμβαδόν της παραγόμενης επιφάνειας από την περιστροφή αυτής γύρω από τον άξονα $\displaystyle{Ox}$ κατά γωνία

ίση με $\displaystyle{2 \pi}$ δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{S=2\pi \int_{-\propto}^{\propto} z(t)\cdot\sqrt{(x'(t))^2+(z'(t))^2} dt \ \ (2)}$

Η σχέση (2) λόγω της (1) και μετά πράξεις καταλήγει:

$\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(1-\frac{1}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt }$

κι ακόμα:

$\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(\frac{sinh^2(t)}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt }$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) \sqrt{sinh^2(t)+1} dt}$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) cosh(t) dt}$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{sinh(t)}{cosh^2(t)} dt}$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{d(cosh(t))}{cosh^2(t)}}$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} d(-\frac{1}{cosh(t)})}$

$\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi (-\frac{1}{cosh(t)}) \right|_{0}^{\propto} =...=4\pi }$

Σημείωση:
Η διόρθωση του "ημαρτημένου τύπου" έγινε ύστερα από προσωπικό μήνυμα του φίλου μου
Γρηγόρη Κωστάκου τον οποίο και ευχαριστώ.
Κι ακόμα:
Η διόρθωση του τύπου έδωσε απλούστερο ολοκλήρωμα το οποίο και υπολόγισα χωρίς
τη χρήση του λογισμικού.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$ , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από την επιφάνεια .

Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης $\overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}]$ , γύρω από τον -άξονα και $\Sigma_1$ το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και $x=\log2$ , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z)$ .

(Συνέχεια...)

ii) Υπολογισμός όγκου του στερεού $\displaystyle{\Sigma }$ που περικλείεται από την επιφάνεια $\displaystyle{S}$ .

Το εν λόγω σχήμα είναι το ακόλουθο, όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη ανάρτηση:

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 5.png (33.61 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Το στερεό αυτό είναι ένα στερεό εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{2 \pi}$
της, επίπεδης στο επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ , καμπύλης:

$\displaystyle{ \displaystyle \bar{c(t)}=\begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ 0 \\ \displaystyle \frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \ \ t \in R, \ \ (1) }$

Ο ζητούμενος όγκος δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{V=\pi \int_{-\propto}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt =2 \pi \int_{0}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt \ \ (2) }$

Όμως είναι:

$\displaystyle{z^2(t)=\frac{1}{cosh^2(t)}=1-tanh^2(t) \ \ (3) }$

και

$\displaystyle{x'(t)=1-\frac{1}{cosh^2(t)}=tanh^2(t) \ \ (4) }$

Έτσι ο τύπος (2) από τους (3) και (4) γίνεται:

$\displaystyle{V=2 \pi \int_{0}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt=2 \pi \int_{0}^{\propto} (1-tanh^2(t))tanh^2(t) dt=2 \pi \int_{0}^{\propto}(tanh^2(t)-tanh^4(t))dt}$

και τελικά:

$\displaystyle{V=2 \pi \int_{0}^{\propto}tanh^2(t)dt -2 \pi \int_{0}^{\propto}tanh^4(t)dt \ \ (5) }$

Όμως από τον αναγωγικό τύπο:

$\displaystyle{ \int tanh^n(x)dx=-\frac{tanh^{n-1}(x)}{n-1}+\int tanh^{n-2}(x)dx }$

ο οποίος για $\displaystyle{n=4}$ γίνεται:

$\displaystyle{ \int tanh^4(x)dx=-\frac{tanh^{3}(x)}{3}+\int tanh^{2}(x)dχ \ \ (6) }$

Έτσι από την (6), η σχέση (5) τελικά γίνεται:

$\displaystyle{V=2 \pi \left. \begin{matrix} \displaystyle \frac{tanh^3(t)}{3} \end{matrix} \right|_{0}^{\propto} =...= \frac{2 \pi}{3} \ \ (7) }$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#5

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$ , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από την επιφάνεια .

Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης $\overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}]$ , γύρω από τον -άξονα και $\Sigma_1$ το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και $x=\log2$ , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z)$ .

(Συνέχεια...)

iii) Υπολογισμός του τριπλού ολοκληρώματος

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 6.png (49.42 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Το στερεό αυτό περιβάλλεται από μια κυρτή επιφάνεια και δύο κυκλικούς δίσκους με κέντρα $\displaystyle{O,K}$ και

ακτίνες τα τμήματα $\displaystyle{(OA), (KM)}$ αντίστοιχα.

Η κυρτή επιφάνεια έχει εξίσωση:

$\displaystyle{S(t,\phi) = \begin{pmatrix} t-tanh(t)\\-\displaystyle \frac{sin(\phi)}{cosh(t)} \\ \displaystyle\frac{cos(\phi)}{cosh(t) \end{pmatrix}, \ \ 0 \leq ln2, \ \ 0\leq \phi \leq 2 \pi \ \ (1)}$

και η οποία προκύπτει από την περιστροφή της δοθείσας καμπύλης γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{Ox}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{2\pi}$ .

Το στερεό που περιβάλλεται από τις τρεις αυτές επιφάνειες περιέχει τα σημεία τα οποία έχουν συντεταγμένες:

$\displaystyle{ \begin{matrix} x=t-tanh(t) \\ \displaystyle y=-k\frac{sin(\phi)}{cosh(t)}\\ \displaystyle z=k\frac{cos(\phi)}{cosh(t)} \end{matrix}, \ \ 0\leq k \leq 1 \ \ (2) }$

Η Ιακωβιανή αυτού του μετασχηματισμού είναι:

$\displaystyle{D=-k(1-tanh^2(t))tanh^2(t) \ \ (3) }$

Έτσι ο νέος τόπος ολοκλήρωσης είναι:

$\displaystyle{ \Sigma_2 : \begin{Bmatrix} 0 \leq k \leq 1 \\0 \leq \phi \leq 2 \pi \\0 \leq t \leq ln2 \end{matrix} \ \ (4) }$

Ύστερα από αυτά το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:

$\displaystyle{I=\iiint_{\substack{\Sigma_1}}(y^2+z^2)dxdydz=\iiint_{\substack{\Sigma_2}} (\frac{k^2}{cosh^2(t)}) \left| D \right|dtd \phi dk =...=\frac{\pi}{6} (\frac{3}{5})^3-\frac{\pi}{10} (\frac{3}{5})^5 \approx 0.09 }$

Σημείωση:
Για τον υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε ο αναδρομικό τύπος:

$\displaystyle{\int tanh^n dx=-\frac{tanh^{n-1}}{n-1}+\int tanh^{n-2} xdx, \ \ n \geq 2 }$

Κώστας Δόρτσιος

Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση