Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\left \lceil \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \right \rceil = n }$ διά κάθε θετικό ακέραιο

.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #3

Αν και το θέμα επιδέχεται πιο στοιχειώδη απάντηση ...

Από τη σειρά Laurent της $\Gamma$ είναι:

$\displaystyle{\Gamma(s) \sim \frac{1}{s} - \gamma + \mathcal{O}(s) \Rightarrow \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \sim n - \gamma + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n} \right )}$
Το ζητούμενο έπεται!

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιούλ 23, 2022 9:38 pm $\displaystyle{ \Rightarrow \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \sim n - \gamma + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n} \right )}$
Το ζητούμενο έπεται!

Δεν το βλέπω να έπεται, εκτός αν χάνω κάτι λόγω πολύ κουραστικής μέρας.

Φαίνεται να ισχυρίζεσαι ότι αν $a_n \sim n-c$ για κάποια σταθερά

με

, τότε

. Σωστά;

Χμμμμ.

Δεδομένου ότι $n + 2022 \sim n -\gamma$ (άμεσο αφού $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \dfrac {n-\gamma }{n+2022} =1}$ ), ισχυρίζεσαι ότι [n+2022]=n

ή αλλιώς $\boxed {n+2022=n}$ , που φυσικά δεν στέκει.

Tolaso J Kos · #5

Μιχάλη, μόλις ξύπνησα οπότε μπορεί να τα βλέπω λάθος. Εσύ αναφέρεσαι στο ακέραιο μέρος της παράστασης ενώ η άσκηση ζητάει το ceiling. Θα το ξανά δω και γω αργότερα.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Ιούλ 24, 2022 9:34 am Μιχάλη, μόλις ξύπνησα οπότε μπορεί να τα βλέπω λάθος. Εσύ αναφέρεσαι στο ακέραιο μέρος της παράστασης ενώ η άσκηση ζητάει το ceiling. Θα το ξανά δω και γω αργότερα.

Τόλη, η ένστασή μου παραμένει. Δηλαδή, το επιχείρημα που γράφεις από ασυμπτωτική συμπεριφορά σε ισότητα, δεν στέκει. Πόσο μαλλον εδώ που τυχαίνει (στο παράδειγμά μου της a_n=n+7

) η floor και η ceiling είναι ίσες. Αλλά και να μην ήσαν ίσες, το n+7=n

που έγραψα, το πολύ πολύ να γινόταν το εξίσου εσφαλμένο n+8=n

ή το

. Η ουσία δεν αλλάζει.

#7

Από την $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ παίρνουμε

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{n}\right) = n\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right) = \frac{n^2}{n+1} \Gamma\left(2 + \frac{1}{n} \right)$

Η $\Gamma$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ και αύξουσα στο $[1,\infty)$ . Επίσης $\Gamma(2) = 1, \Gamma(3) = 2$ . Από την κυρτότητα παίρνουμε $\Gamma(x) \leqslant x-1$ για $x \in [2,3]$ . Άρα $1 = \Gamma(2) \leqslant \Gamma(2+1/n) \leqslant 1+1/n$ . Συνεπώς

$\displaystyle n-1 < \frac{n^2}{n+1} \leqslant \Gamma\left(\frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} = n$

Το ζητούμενο έπεται.

Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα της Γάμμα συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση