Poisson ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a \in (-1 , 1)$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\ln \left ( 1-2a\cos x + a^2 \right )}{1-2a \cos x+ a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{2\pi \ln \left ( 1- a^2 \right )}{1-a^2}$

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \frac{\ln \left ( 1-2a\cos x + a^2 \right )}{1-2a \cos x+ a^2} \, \mathrm{d}x &\overset{t =\tan \frac{x}{2}}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\ln \left ( \frac{(1+a)^2 t^2 + (1-a)^2}{1+t^2} \right )}{\left ( 1 + a^2 \right )t^2 + \left ( 1-a^2 \right )} \, \mathrm{d}t \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{t = \frac{1 - a}{1+a}y}{=\! =\! =\! =\! =\!}\frac{2}{1-a^2} \int_{0}^{\infty} \frac{2 \ln (1-a) + \ln (y^2+1) - \ln \left ( 1 + \alpha^2 y^2 \right )}{y^2 + 1} \, \mathrm{d}y \quad \quad \left (\alpha = \frac{1- a}{1+a} \right ) \\ &= \frac{2}{1-a^2} \left ( \pi \ln (1-a) + \pi \ln 2 - I \right ) \end{aligned}}$
Τέλος για το

έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\ln \left ( 1 + \alpha^2 y^2 \right )}{1+y^2}\, \mathrm{d} y &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\alpha} \frac{2z y^2}{\left ( 1 + z^2 y^2 \right ) \left ( 1 + y^2 \right )}\, \mathrm{d}(z, y) \\ &=2 \int_{0}^{\alpha} \frac{z}{z^2-1} \int_{0}^{\infty} \left ( \frac{1}{y^2+1} - \frac{1}{1+y^2 z^2} \right ) \, \mathrm{d} (z, y) \\ &=\pi \int_{0}^{\alpha} \frac{z}{z^2-1} \left ( 1 - \frac{1}{z} \right )\, \mathrm{d}z \\ &= \pi \int_{0}^{\alpha} \frac{\mathrm{d}z}{z+1} \\ &= \pi \ln (1+ \alpha) \\ &= \pi \ln \frac{2}{1+a} \end{aligned}}$
Το αποτέλεσμα έπεται.

Poisson ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Poisson ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Re: Poisson ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση