Π.Α.Τ-Σωστό-Λάθος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται το Π.Α.Τ

$\displaystyle y'(t)+(\ln (e+t^2))^2y(t)=e^{-y(t)}-1,t\geq 0$
y(0)=y_0

Ποια από τα παρακάτω ισχύουν ;
1) $\displaystyle \int_{0}^{t}\ln(e+t^2)y^2(t)dt\leq \frac{1}{2}(|y_0|^2-|y(t)|^2),t>0$

2) $\displaystyle \int_{0}^{\infty }(\ln(e+t^2))^2y^2(t)dt\leq \frac{1}{2}|y_0|^2$

3) $\displaystyle |y(t)|\leq |y_0|e^{-t},t>0$

Εννοείται για κάθε τιμή του y_0

ΑλέξανδροςΚ · #2

Αρχικά θα παρατηρήσουμε ότι η y = 0

είναι μια προφανής λύση της διαφορικής εξίσωσης του Π.Α.Τ.
Άρα για την αρχική συνθήκη $y_{0} = 0$ η μοναδική λύση του Π.Α.Τ είναι η σταθερά μηδενική, για την οποία και ικανοποιούνται τετριμμένα όλες οι ανισότητες που μας δίνονται.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $y_{0} \neq 0$ και άρα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Για $y_{0} > 0$ τότε αν είναι μια λύση του Π.Α.Τ στο διάστημα $[0, +\infty)$ έχουμε ότι
$e^{-y(t)} - 1 \leq 0$ και επομένως έχουμε $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \leq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ από όπου
και έπεται ότι $\int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]^{2}y^{2}(s) ds \leq \frac{1}{2}((y_{0})^{2} - (y(t))^{2}), \hspace{2mm} t > 0$ .

Για $y_{0} < 0$ τότε αν είναι μια λύση του Π.Α.Τ στο διάστημα $[0, +\infty)$ έχουμε ότι
$e^{-y(t)} - 1 \geq 0$ και επομένως έχουμε $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \geq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ από όπου
και έπεται ότι $\int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]^{2}y^{2}(s) ds \leq \frac{1}{2}((y_{0})^{2} - (y(t))^{2}), \hspace{2mm} t > 0$ .

Σύμφωνα λοιπόν με τα προηγούμενα ισχύει η ανισότητα (α) για κάθε τιμή της αρχικής συνθήκης $y_{0}$

Μπορούμε όμως να δούμε ότι ισχύει και η ανισότητα (β). Μάλιστα, αρκεί να αποδείξουμε ότι καθώς $\lim_{t \to +\infty } y(t) = 0$

Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες περιπτώσεις έχουμε ότι

Αν $y_{0} > 0$ δείξαμε ότι $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \leq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ και άρα $y^{\prime}(t) \leq 0, \hspace{2mm} t > 0$ , που σημαίνει ότι η είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη. Επομένως υπάρχει το $\lim_{t \to +\inty}y(t) = l \in \mathbb{R}$ . Τότε $\lim_{t \to +\infty}y^{\prime}(t) = 0$ και επομένως από τη προηγούμενη σχέση θα πρέπει αναγκαστικά να ισχύει

Ομοίως, αν ισχύει ότι $y_{0} < 0$ χρησιμοποιώντας ανάλογη επιχειρηματολογία όπως προηγουμένως μπορούμε να δούμε ότι και πάλι $\lim_{t \to +\infty}y(t) = 0$

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι για κάθε αρχική τιμή $y_{0}$ ισχύουν οι ανισότητες (α) και (β).

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα (α) και την ανισότητα του Gronwall μπορούμε να αποδείξουμε ότι
$|y(t)| \leq |y_{0}|exp(\frac{1}{2}\int_{0}^{t} [ln(e+s^{2})]^{2}ds)$ αλλά δεν μπορώ να δω πως θα μπορούσαμε να φτάσουμε στην ανισότητα (γ). Είναι πολύ πιθανό η ιδέα να είναι πολύ απλή αλλά να μου διαφεύγει.

ΠΡΟΣΟΧΗ! Μόλις πρόσεξα ότι διάβασα λάθος την επιλογή (α) και έβαλα μια δύναμη του 2 εκεί που δεν θα έπρεπε. Συγνώμη για το λάθος. Θα έλεγα λοιπόν ότι σωστή είναι η (β)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΑλέξανδροςΚ έγραψε: Πέμ Ιούλ 13, 2023 1:46 am Αρχικά θα παρατηρήσουμε ότι η είναι μια προφανής λύση της διαφορικής εξίσωσης του Π.Α.Τ.
Άρα για την αρχική συνθήκη $y_{0} = 0$ η μοναδική λύση του Π.Α.Τ είναι η σταθερά μηδενική, για την οποία και ικανοποιούνται τετριμμένα όλες οι ανισότητες που μας δίνονται.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $y_{0} \neq 0$ και άρα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Για $y_{0} > 0$ τότε αν είναι μια λύση του Π.Α.Τ στο διάστημα $[0, +\infty)$ έχουμε ότι
$e^{-y(t)} - 1 \leq 0$ και επομένως έχουμε $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \leq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ από όπου
και έπεται ότι $\int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]^{2}y^{2}(s) ds \leq \frac{1}{2}((y_{0})^{2} - (y(t))^{2}), \hspace{2mm} t > 0$ .

Για $y_{0} < 0$ τότε αν είναι μια λύση του Π.Α.Τ στο διάστημα $[0, +\infty)$ έχουμε ότι
$e^{-y(t)} - 1 \geq 0$ και επομένως έχουμε $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \geq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ από όπου
και έπεται ότι $\int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]^{2}y^{2}(s) ds \leq \frac{1}{2}((y_{0})^{2} - (y(t))^{2}), \hspace{2mm} t > 0$ .

Σύμφωνα λοιπόν με τα προηγούμενα ισχύει η ανισότητα (α) για κάθε τιμή της αρχικής συνθήκης $y_{0}$

Μπορούμε όμως να δούμε ότι ισχύει και η ανισότητα (β). Μάλιστα, αρκεί να αποδείξουμε ότι καθώς $\lim_{t \to +\infty } y(t) = 0$

Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες περιπτώσεις έχουμε ότι

Αν $y_{0} > 0$ δείξαμε ότι $y^{\prime}(t) + [ln(e + t^{2})]y(t) \leq 0, \hspace{2mm} t \geq 0$ και άρα $y^{\prime}(t) \leq 0, \hspace{2mm} t > 0$ , που σημαίνει ότι η είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη. Επομένως υπάρχει το $\lim_{t \to +\inty}y(t) = l \in \mathbb{R}$ . Τότε $\lim_{t \to +\infty}y^{\prime}(t) = 0$ και επομένως από τη προηγούμενη σχέση θα πρέπει αναγκαστικά να ισχύει

Ομοίως, αν ισχύει ότι $y_{0} < 0$ χρησιμοποιώντας ανάλογη επιχειρηματολογία όπως προηγουμένως μπορούμε να δούμε ότι και πάλι $\lim_{t \to +\infty}y(t) = 0$

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι για κάθε αρχική τιμή $y_{0}$ ισχύουν οι ανισότητες (α) και (β).

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα (α) και την ανισότητα του Gronwall μπορούμε να αποδείξουμε ότι
$|y(t)| \leq |y_{0}|exp(\frac{1}{2}\int_{0}^{t} [ln(e+s^{2})]^{2}ds)$ αλλά δεν μπορώ να δω πως θα μπορούσαμε να φτάσουμε στην ανισότητα (γ). Είναι πολύ πιθανό η ιδέα να είναι πολύ απλή αλλά να μου διαφεύγει.

ΠΡΟΣΟΧΗ! Μόλις πρόσεξα ότι διάβασα λάθος την επιλογή (α) και έβαλα μια δύναμη του 2 εκεί που δεν θα έπρεπε. Συγνώμη για το λάθος. Θα έλεγα λοιπόν ότι σωστή είναι η (β)

Και οι τρεις είναι σωστές.
Στο (α) δεν υπάρχει πρόβλημα με το 2.
γιατί
$\int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]y^{2}(s) ds \leq \int_{0}^{t}[ln(e + s^{2})]^2y^{2}(s) ds$

Το τρίτο είναι το πιο εύκολο και μπορεί να βγει χωρίς να χρησιμοποιήθουν τα άλλα.

Π.Α.Τ-Σωστό-Λάθος

Π.Α.Τ-Σωστό-Λάθος

Re: Π.Α.Τ-Σωστό-Λάθος

Re: Π.Α.Τ-Σωστό-Λάθος

Μέλη σε σύνδεση