Όριο με ακολουθία

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω $a_0 \in \mathbb{R}$ και η γνησίως αύξουσα ακολουθία (a_n)

τέτοια, ώστε $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}}$ για κάθε $n \geq 0$ .

Για τις διάφορες τιμές του $k \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} k^n(1-a_n)$ .

(Η άσκηση είναι παραλλαγή της άσκησης προς λύση 3, σελίδα 185 του βιβλίου του Θεμιστοκλή Ρασσιά "Μαθηματική Ανάλυση Ι", εκδόσεις Τσότρας)

ksofsa · #2

Καλημέρα.

Έχω $2a_{n+1}^2=a_{n}+1<a_{n+1}+1\Rightarrow a_{n+1}\in (-\dfrac{1}{2},1)$ .

Αφού η ακολουθία μονότονη και φραγμένη, συγκλίνει, έστω στο

.

Από την αρχική σχέση , $2l^2=l+1\Rightarrow l=-\dfrac{1}{2},l=1$ .

Τελικά, l=1

, διότι η ακολουθία γνησίως αύξουσα και η άλλη λύση απορρίπτεται.

Έχουμε:

$2a_{n+1}^2-2=a_{n}-1\Rightarrow \dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_{n}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+a_{n+1}}\Rightarrow 1-a_{n}=\dfrac{1}{2^n}\dfrac{1-a_{0}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a_{k})}$ .

Αν k<4

, για κάποιο $n_{0}$ και ύστερα, $1+a_{n}> \dfrac{ck}{2}$ , όπου επιλέγω c>1,ck<4

.

Οπότε,

$(\dfrac{k}{2})^n\dfrac{1-a_{0}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a_{k})}< (\dfrac{k}{2})^n\dfrac{1-a_{0}}{(\dfrac{ck}{2})^{n-n_{0}+1}\prod_{k=1}^{n_{0}-1}(1+a_{k})}\rightarrow 0$ .

Αν k=4

,

αν $a_{0}=cosa$ ,με $a\in [0,\pi ]$ ,
τότε $a_{1}=cos\dfrac{a}{2}$ και επαγωγικά $a_{n}=cos\dfrac{a}{2^n}$ .

Οπότε

$4^n(1-cos\dfrac{a}{2^n})=2\cdot 4^nsin^2\dfrac{a}{2^{n+1}}=(\dfrac{sin\frac{a}{2^{n+1}}}{\frac{a}{2^{n+1}}})^2\dfrac{a^2}{2}\rightarrow \dfrac{a^2}{2}$

Αν k>4

,

$\dfrac{\frac{k}{2}}{(1+a_{n})}>\dfrac{k}{4}=C>1$ , οπότε

$(\dfrac{k}{2})^n\dfrac{1-a_{0}}{\prod_{i=1}^{n}(1+a_{i})}> C^n(1-a_{0})$ .

Αφού το δεξί μέλος τείνει στο άπειρο ,θα πηγαίνει στο άπειρο και το αριστερό.

Όπως με ενημέρωσε ο Ορέστης, υπήρχε πρόβλημα στη λύση για την περίπτωση που . Έκανα κάποιες διορθώσεις. Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Όριο με ακολουθία

Όριο με ακολουθία

Re: Όριο με ακολουθία

Re: Όριο με ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση