ΑΝΑΛΥΣΗ

Δαμιανός · #1

Αυτή η ερώτηση ανήκει σε αυτό το φόρουμ αλλά είναι πολύ παλιά

$\displaystyle{ S = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{{\log \left( {{{\left( {n + \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{n + \frac{1}{3}}}} }$

$\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{{\log \left( {{{\left( {n + \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{n + \frac{1}{3}}}} = \frac{{\log \left( {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{\frac{1}{3}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log \left( {{{\left( {n + \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{n + \frac{1}{3}}} + \frac{{\log \left( {{{\left( { - n + \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{ - n + \frac{1}{3}}}} \right)} }$

$\displaystyle{{ = - 3\log \left( 9 \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log \left( {{{\left( {n + \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{n + \frac{1}{3}}} - \frac{{\log \left( {{{\left( {n - \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)}}{{n - \frac{1}{3}}}} \right)} = - 3\log \left( 9 \right) + 6\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log \left( {\frac{{3n + 1}}{3}} \right)}}{{3n + 1}} - \frac{{\log \left( {\frac{{3n - 1}}{3}} \right)}}{{3n - 1}}} \right)} = }}$

$\displaystyle{{ = - 6\log \left( 3 \right) + 6\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log \left( {3n + 1} \right) - \log 3}}{{3n + 1}} - \frac{{\log \left( {3n - 1} \right) - \log 3}}{{3n - 1}}} \right)} = }}$

$\displaystyle{{ = - 6\log \left( 3 \right) + 6\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log 3}}{{3n - 1}} - \frac{{\log 3}}{{3n + 1}}} \right)} + 6\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\log \left( {3n + 1} \right)}}{{3n + 1}} - \frac{{\log \left( {3n - 1} \right)}}{{3n - 1}}} \right)} }}$

Γνωρίζω ήδη την κλειστή μορφή του αθροίσματος, αλλά η ερώτησή μου είναι Πώς ορίζεις $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$
Επειδή για την επιλογή των a_n

σε αυτό το πρόβλημα $\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$

BAGGP93 · #2

Μέσω της ακολουθίας $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ των μερικών αθροισμάτων, όπου

$\displaystyle{s_n=\sum_{k=-n}^{n}a_k,\,n\in\mathbb{N}.}$

ΑΝΑΛΥΣΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση