Όριο ακολουθίας

Tolaso J Kos · #1

Για κάθε $n \geq 1$ ορίζουμε την ακολουθία

$\displaystyle{x_n = \int_{0}^{1} \ln \left ( 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \right ) \ln \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x}$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} x_n =2$ .
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{\ln n} \left ( 2 - x_n \right )$ .

Nikitas K. · #2

i.
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx$ Από Dominated Converged Theorem

$\displaystyle = \int_{0}^{1} \ln^2 \left(1-x\right) \,dx \overset{u := 1-x}{=} \int_{0}^{1} \ln^2 u \, du = \left[x\ln^2 x - 2\left(x\ln x - x\right) \right]_0 ^1$

$\displaystyle = 2 - \lim_{x\to 0^+} \frac{\left(\ln x - 1\right)^2 + 1}{\dfrac{1}{x}} \overset{\frac{+\infty}{+\infty}}{=} 2 + 2 \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x - 1}{\dfrac{1}{x}}\overset{\frac{+\infty}{+\infty}}{=} 2 - 2 \lim_{x\to 0^+} x = 2$

#3

Nikitas K. έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx$

Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.

Nikitas K. · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 11:52 am
Nikitas K. έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx$
Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.

Σας ευχαριστώ για την επισήμανση, όμως για την αιτιολόγηση φοβάμαι πως θα χρειαστεί να μάθω κάτι χρονοβόρο, όπως το Dominated convergence theorem σε ακατάλληλη χρονική περίοδο.

stranger · #5

Nikitas K. έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 3:18 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 11:52 am
Nikitas K. έγραψε: Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx$
Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.
Σας ευχαριστώ για την επισήμανση, όμως για την αιτιολόγηση φοβάμαι πως θα χρειαστεί να μάθω κάτι χρονοβόρο, όπως το Dominated convergence theorem σε ακατάλληλη χρονική περίοδο.

Με dominated convergence theorem η αιτιολόγηση είναι εντάξει.

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση