Ολοκλήρωμα

KapioPulsar · #1

Να βρεθεί το $I= \int\limits_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3+2\sin\theta}=?$

#2

#3

Ακόμα καί τό αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα:

Θέτωντας $t=\tan{\frac{x}{2}}$ , προκύπτουν $\sin{x}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}$ καί $dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}\,dt$ .

$\displaystyle\int{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\int{\frac{1}{3+2\,\frac{2t}{1+t^2}}\,\frac{2}{1+t^2}\,dt}=\int{\frac{2}{3t^2+4t+3}\,dt}=$

$\displaystyle\int{\frac{6}{9t^2+12t+4+5}\,dt}=\int{\frac{6}{({3t+2})^2+{\sqrt{5}}^2}\,dt}=\int{\frac{6}{\left({\frac{3}{\sqrt{5}}\,t+\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)^2+1}\,dt}=$

$\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\,\arctan\!\left({\tfrac{3}{\sqrt{5}}\,t+\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\right)+c\stackrel{t=\tan{\frac{x}{2}}}{=}\,\frac{2}{\sqrt{5}}\,\arctan\!\left({\tfrac{3}{\sqrt{5}}\,\tan{\tfrac{x}{2}}+\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\right)+c.\quad\square$

KapioPulsar · #4

matha έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Απ' ότι θυμάμαι τέτοια ολοκληρώματα στο $[0, 2 \pi]$ βγαίνουν πολύ γρήγορα με μιγαδικές και ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

υπολογιζετε πολυ ωραια επισης με μιγαδικες οπως ανεφερες $z=e^{i\theta}$ επικαμπυλια κτλ

#5

Αφού φρέσκαρα μερικά πράγματα, παραθέτω τη λύση.

Θέτοντας $z=e^{i\theta}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{3+2\sin \theta} =\frac{iz}{z^2 +3iz-1}}$ και

$\displaystyle{d\theta =\frac{1}{iz}dz}$ άρα αναγόμαστε στον υπολογισμό του

$\displaystyle{\oint _{c}\frac{1}{z^2 +3iz-1}dz}$ όπου

ο μοναδιαιός κύκλος. Ας ονομάσουμε την ολοκληρωτέα συνάρτηση f(z)

Η συνάρτηση $\frac{1}{z^2 +3iz-1}$ έχει στο εσωτερικό του

απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$ επομένως το αρχικό ολοκλήρωμα θα ισούται με

$\displaystyle{2\pi i Res(f(z),z_{0}).}$ Επειδή το $z_{0}$ είναι απλός πόλος ισχύει

$\displaystyle{Res(f(z),z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})\frac{1}{z^2 +3iz-1}=...=\frac{1}{\sqrt{5}i}.}$
Άρα το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}.}$

KapioPulsar · #6

matha έγραψε:Αφού φρέσκαρα μερικά πράγματα, παραθέτω τη λύση.

Θέτοντας $z=e^{i\theta}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{3+2\sin \theta} =\frac{iz}{z^2 +3iz-1}}$ και

$\displaystyle{d\theta =\frac{1}{iz}dz}$ άρα αναγόμαστε στον υπολογισμό του

$\displaystyle{\int _{c}\frac{1}{z^2 +3iz-1}dz}$ όπου ο μοναδιαιός κύκλος. Ας ονομάσουμε την ολοκληρωτέα συνάρτηση

Το τριώνυμο έχει στο εσωτερικό του απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$ επομένως το αρχικό ολοκλήρωμα θα ισούται με

$\displaystyle{2\pi i Res(f(z),z_{0}).}$ Επειδή το $z_{0}$ είναι απλός πόλος ισχύει

$\displaystyle{Res(f(z),z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})\frac{1}{z^2 +3iz-1}=...=\frac{1}{\sqrt{5}i}.}$
Άρα το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}.}$

Nαι!

mathxl · #7

Με την αλλαγή μεταβλητής ημθ=κ βρίσκουμε 0. Να βρείτε το λάθος

antegeia · #8

H συναρτηση ειναι συνεχης και αλλαζει μονοτονια με βημα π/2 (αρα δεν ειναι 1-1 σε ολο διαστημα ολοκληρωσης).

GMANS · #9

Είναι απαραίτητο το «1-1»; Γιατί;

Ωmega Man · #10

Το τριώνυμο z^2 +3iz-1 έχει στο εσωτερικό του c απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$

Το τριώνυμο αποκλείεται να έχει πόλο, μάλλον έχει ρίζα....κεκτημένη ταχύτητα υποθέτω.Επίσης σε λατέχ το επικαμπύλιο γράφεται με το \oint , δηλαδή $\displaystyle{\oint _{C}}$ .

KapioPulsar · #11

Ωmega Man έγραψε:
Το τριώνυμο z^2 +3iz-1 έχει στο εσωτερικό του c απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$
Το τριώνυμο αποκλείεται να έχει πόλο, μάλλον έχει ρίζα....κεκτημένη ταχύτητα υποθέτω.Επίσης σε λατέχ το επικαμπύλιο γράφεται με το \oint , δηλαδή $\displaystyle{\oint _{C}}$ .

το Ζo ειναι απλος πολος της f(z) !

Ωmega Man · #12

Ναι της ολοκληρωτέας όχι του τριωνύμου , αν δεις παραπάνω διορθώθηκε...

KapioPulsar · #13

Ωmega Man έγραψε:Ναι της ολοκληρωτέας όχι του τριωνύμου , αν δεις παραπάνω διορθώθηκε...

oκ οκ συγνωμη

GMANS · #14

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 16.pdf: (23.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές

paltoG · #15

συνχωρεστε με που επεμβενω απλα ειμαι νεο μελος και ειπα απλα να πω οτι η λυση του grigkost (χωρις παραξεγιση

) μου φενεται πιο απλη απο ολα που αναφεραται! (απλα μου θημισε τα λογια ενος δασκαλου που μου ειχε πεει οταν βλεπεις τετια ολοκληρωματα κανε αλλαγη μεταβλιτης με εφαπτομενη..) τελος παντων απο ολο αυτο ηθελα να πω γεια σας

#16

paltoG έγραψε:συνχωρεστε με που επεμβενω απλα ειμαι νεο μελος και ειπα απλα να πω οτι η λυση του grigkost (χωρις παραξεγιση ) μου φενεται πιο απλη απο ολα που αναφεραται! (απλα μου θημισε τα λογια ενος δασκαλου που μου ειχε πεει οταν βλεπεις τετια ολοκληρωματα κανε αλλαγη μεταβλιτης με εφαπτομενη..) τελος παντων απο ολο αυτο ηθελα να πω γεια σας

Το μόνο που πρέπει να προσέξει κανείς είναι ότι αν με την προσέγγιση του Γρηγόρη θέλει κανείς να περάσει στο ορισμένο πρέπει να σπάσει μετά σε δυο ολοκληρώματα.

#17

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το μόνο που πρέπει να προσέξει κανείς είναι ότι αν με την προσέγγιση του Γρηγόρη θέλει κανείς να περάσει στο ορισμένο πρέπει να σπάσει μετά σε δυο ολοκληρώματα.

Σωστή η επισήμανση τού Αναστάση καί, ταυτόχρονα, δικιά μου παράληψη. Η $\tan\tfrac{x}{2}$ δέν ορίζεται στό $\pi$ , επομένως πρέπει νά σπάσουμε τό $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}$ σέ $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}-\frac{2\pi}{\sqrt{5}}\,\arctan\bigl({\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\bigr)$ καί $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}+\frac{2\pi}{\sqrt{5}}\,\arctan\bigl({\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\bigr)$ .

Άρα $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{5}}$ .

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση